ここでは平面ベクトルの内積について解説します。
まずはベクトルの内積の定義を知りましょう。
また，ベクトルの内積と平行条件・垂直条件の関係やベクトルの内積の性質を知りましょう。
ベクトルの内積は，ベクトルのなす角や，三角形の面積，正射影の長さなど，様々な問題に利用することができます。
ベクトルの内積を使いこなせるようにしましょう。
ベクトルの内積
ヒロ
ベクトルの内積は次のように定義される。
ベクトルの内積$\vec{0}$ でない2つのベクトル $\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき，
$\vec{a}=\vec{0}$ または $\vec{b}=\vec{0}$ のときは $\vec{a}\Cdot\vec{b}=0$ と定める。
\begin{align*}
\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}\cos\theta
\end{align*}
を $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積といい，$\vec{a}\Cdot\vec{b}$ で表す。\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}\cos\theta
\end{align*}
$\vec{a}=\vec{0}$ または $\vec{b}=\vec{0}$ のときは $\vec{a}\Cdot\vec{b}=0$ と定める。
内積と成分
ヒロ
ベクトルを成分表示したときの内積の定義を知ろう。
内積と成分$\vec{a}=(a_1,~a_2),~\vec{b}=(b_1,~b_2)$ とすると，
\begin{align*}
\vec{a}\Cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2
\end{align*}
また，$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると\vec{a}\Cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2
\end{align*}
\begin{align*}
\cos\theta&=\dfrac{\vec{a}\Cdot\vec{b}}{\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}} \\[4pt]&=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}
\end{align*}
\cos\theta&=\dfrac{\vec{a}\Cdot\vec{b}}{\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}} \\[4pt]&=\dfrac{a_1b_1+a_2b_2}{\sqrt{{a_1}^2+{a_2}^2}\sqrt{{b_1}^2+{b_2}^2}}
\end{align*}
ヒロ
2つのベクトルのなす角 $\theta$ を求めたいときは，$\cos\theta$ を求めることで $\theta$ を求めることができる。
内積と平行・垂直条件
ヒロ
2つのベクトルが平行になるときと垂直になるときの条件を知っておこう。
平行条件と垂直条件$\vec{a}\neq\vec{0},~\vec{b}\neq\vec{0}$，$\vec{a}=(a_1,~a_2),~\vec{b}=(b_1,~b_2)$ とする。
平行条件：$\vec{a}/\!/\vec{b}$ となるのは $\vec{a}\Cdota\vec{b}=\pm\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}$ となるときで，$a_1b_2-a_2b_1=0$
垂直条件：$\vec{a}\perp\vec{b}$ となるのは $\vec{a}\Cdot\vec{b}=0$ となるときで，$a_1b_1+a_2b_2=0$
平行条件：$\vec{a}/\!/\vec{b}$ となるのは $\vec{a}\Cdota\vec{b}=\pm\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}$ となるときで，$a_1b_2-a_2b_1=0$
垂直条件：$\vec{a}\perp\vec{b}$ となるのは $\vec{a}\Cdot\vec{b}=0$ となるときで，$a_1b_1+a_2b_2=0$
内積の性質
ヒロ
内積の性質を知って計算できるようにしよう。
内積の性質
- $\vec{a}\Cdot\vec{a}=\abs{\vec{a}}^2$
- $\vec{a}\Cdot\vec{b}=\vec{b}\Cdot\vec{a}$
- $(\vec{a}+\vec{b})\Cdot\vec{c}=\vec{a}\Cdot\vec{c}+\vec{b}\Cdot\vec{c}$
- $\vec{a}\Cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\Cdot\vec{b}+\vec{a}\Cdot\vec{c}$
- $(k\vec{a})\Cdot\vec{b}=\vec{a}\Cdot(k\vec{b})=k\vec{a}\Cdot\vec{b}$
三角形の面積
ヒロ
これまでに様々な単元で三角形の面積の公式を扱ってきたが，ベクトルにも三角形の面積公式がある。
三角形の面積$\sankaku{OAB}$ において，$\Vec{OA}=\vec{a}=(a_1,~a_2)$，$\Vec{OB}=\vec{b}=(b_1,~b_2)$ とすると，$\sankaku{OAB}$ の面積 $S$ は
\begin{align*}
S&=\dfrac{1}{2}\sqrt{\abs{\vec{a}}^2\abs{\vec{b}}^2-(\vec{a}\Cdota\vec{b})^2} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\abs{a_1b_2-a_2b_1}
\end{align*}
S&=\dfrac{1}{2}\sqrt{\abs{\vec{a}}^2\abs{\vec{b}}^2-(\vec{a}\Cdota\vec{b})^2} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\abs{a_1b_2-a_2b_1}
\end{align*}
ヒロ
次の記事では，上の公式についても扱っている。
2021年 工学院大
2021年 工学院大平面上の3点 $\textrm{O}(0,~0)$，$\textrm{A}(2,~4)$，$\textrm{B}(1,-3)$ を頂点とする三角形OABにおいて，$\kaku{AOB}=\myhako$ であり，三角形OABの面積は $\myhako$ である。
【解答と考え方】
$\vec{a}=(2,~4),~\vec{b}=(1,-3)$ とすると，
したがって
$\vec{a}=(2,~4),~\vec{b}=(1,-3)$ とすると，
\begin{align*}
\abs{\vec{a}}=2\sqrt{5},~\abs{\vec{b}}=\sqrt{10},~\vec{a}\Cdota\vec{b}=-10
\end{align*}
となるから，\abs{\vec{a}}=2\sqrt{5},~\abs{\vec{b}}=\sqrt{10},~\vec{a}\Cdota\vec{b}=-10
\end{align*}
\begin{align*}
\cos\kaku{AOB}&=\dfrac{\vec{a}\Cdota\vec{b}}{\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}} \\[4pt]
&=\dfrac{-10}{2\sqrt{5}\Cdota\sqrt{10}} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}
よって，$\kaku{AOB}=\dfrac{3}{4}\pi$\cos\kaku{AOB}&=\dfrac{\vec{a}\Cdota\vec{b}}{\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}} \\[4pt]
&=\dfrac{-10}{2\sqrt{5}\Cdota\sqrt{10}} \\[4pt]
&=-\dfrac{1}{\sqrt{2}}
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
\sankaku{OAB}&=\dfrac{1}{2}\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}\sin\dfrac{3}{4}\pi \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota2\sqrt{5}\Cdota\sqrt{10}\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt]
&=5
\end{align*}
\sankaku{OAB}&=\dfrac{1}{2}\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}\sin\dfrac{3}{4}\pi \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}\Cdota2\sqrt{5}\Cdota\sqrt{10}\Cdota\dfrac{1}{\sqrt{2}} \\[4pt]
&=5
\end{align*}
ヒロ
三角形の面積については $\kaku{AOB}$ を求めなくても2点の座標から求めることもできる。
【別の解答と考え方】
\begin{align*}
\sankaku{OAB}&=\dfrac{1}{2}\abs{2\Cdota(-3)-4\Cdota1}=5
\end{align*}
\sankaku{OAB}&=\dfrac{1}{2}\abs{2\Cdota(-3)-4\Cdota1}=5
\end{align*}
2020年 中央大
2020年 中央大$\abs{\vec{a}}=4$，$\abs{\vec{b}}=5$，$\abs{2\vec{a}-\vec{b}}=7$ とする。以下の設問に答えよ。
(1) 内積 $\vec{a}\Cdot\vec{b}$ および $\abs{\vec{a}+\vec{b}}$ を求めよ。
(2) $\abs{\vec{a}+t\vec{b}}$ の最小値を，そのときの実数 $t$ の値を求めよ。
(1) 内積 $\vec{a}\Cdot\vec{b}$ および $\abs{\vec{a}+\vec{b}}$ を求めよ。
(2) $\abs{\vec{a}+t\vec{b}}$ の最小値を，そのときの実数 $t$ の値を求めよ。
【(1)の解答と考え方】
$\abs{2\vec{a}-\vec{b}}=7$ の両辺を2乗すると
$\abs{2\vec{a}-\vec{b}}=7$ の両辺を2乗すると
\begin{align*}
&4\abs{\vec{a}}^2-4\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2=49 \\[4pt]&64-4\vec{a}\Cdota\vec{b}+25=49 \\[4pt]&\vec{a}\Cdota\vec{b}=10
\end{align*}
$\abs{\vec{a}+\vec{b}}$ の両辺を2乗すると&4\abs{\vec{a}}^2-4\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2=49 \\[4pt]&64-4\vec{a}\Cdota\vec{b}+25=49 \\[4pt]&\vec{a}\Cdota\vec{b}=10
\end{align*}
\begin{align*}
\abs{\vec{a}+\vec{b}}^2&=\abs{\vec{a}}^2+2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2 \\[4pt]&=16+20+25=61
\end{align*}
$\abs{\vec{a}+\vec{b}}>0$ であるから，$\abs{\vec{a}+\vec{b}}=\sqrt{61}$\abs{\vec{a}+\vec{b}}^2&=\abs{\vec{a}}^2+2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2 \\[4pt]&=16+20+25=61
\end{align*}
(2) $\abs{\vec{a}+t\vec{b}}$ の最小値を，そのときの実数 $t$ の値を求めよ。
【(2)の解答と考え方】
\begin{align*}
\abs{\vec{a}+t\vec{b}}^2&=\abs{\vec{a}}^2+2t\vec{a}\Cdota\vec{b}+t^2\abs{\vec{b}}^2 \\[4pt]&=16+20t+25t^2 \\[4pt]&=25\left(t+\dfrac{2}{5}\right)^2+12
\end{align*}
$t=-\dfrac{2}{5}$ のとき，$\abs{\vec{a}+t\vec{b}}$ は最小値 $\sqrt{12}=2\sqrt{3}$ をとる。\abs{\vec{a}+t\vec{b}}^2&=\abs{\vec{a}}^2+2t\vec{a}\Cdota\vec{b}+t^2\abs{\vec{b}}^2 \\[4pt]&=16+20t+25t^2 \\[4pt]&=25\left(t+\dfrac{2}{5}\right)^2+12
\end{align*}