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【数学ⅡB】2次方程式の解と係数の関係【東洋大・東京農業大】

2次方程式の解と係数の関係数学IAIIB
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ここでは2次方程式の解と係数の関係とそれに関する問題について説明します。

「解と係数の関係」という名前で,公式として覚えている人が多い気がします。

意味を考えずに覚えるのはしんどいので,しっかり意味を考えるようにしましょう。

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2次方程式の解と係数の関係

ヒロ
ヒロ

どのような2次方程式であっても,その解と各項の係数には何らかの関係があるはずである。

ヒロ
ヒロ

だって,係数によって解が決まっているのだから。

ヒロ
ヒロ

その関係を表したものを「解と係数の関係」と呼んでいるだけなので,その関係式を当たり前のものだと感じる人にとっては「暗記しないといけないもの」ではない。

2次方程式の解と係数の関係2次方程式 $ax^2+bx+c=0$ の2つの解を $\alpha,~\beta$ とするとき
\begin{align*}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},~\alpha\beta=\dfrac{c}{a}
\end{align*}
が成り立つ。
ヒロ
ヒロ

何故,このような関係式が成り立つかという理由を確認しておこう。

【解と係数の関係】
$\alpha,~\beta$ が $ax^2+bx+c=0$ の2解のとき,$x^2$ の係数を考えると
\begin{align*}
ax^2+bx+c=a(x-\alpha)(x-\beta)
\end{align*}
と因数分解できる。右辺を展開すると $ax^2-a(\alpha+\beta)x+a\alpha\beta$ となるから,
\begin{align*}
b=-a(\alpha+\beta),~c=a\alpha\beta
\end{align*}
となる。すなわち
\begin{align*}
\alpha+\beta=-\dfrac{b}{a},~\alpha\beta=\dfrac{c}{a}
\end{align*}
が成り立つ。

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