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ブラーマグプタの公式【円に内接する四角形の面積】

ブラーマグプタの公式数学IAIIB
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ここではブラーマグプタの公式について説明します。

大学入試問題では,「ブラーマグプタの公式」という公式の名前が出ることは少ないですが,その公式の証明が出題されることがあります。

そのため,ブラーマグプタの公式を知っているかどうかではなく,証明できるかどうかがポイントとなります。

一度は経験しておく方が良いでしょう。

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ブラーマグプタの公式

ヒロ
ヒロ

ブラーマグプタの公式とは次のようなものである。

ブラーマグプタの公式円周上に4点A, B, C, Dがあり,$\text{AB}=a$, $\text{BC}=b$, $\text{CD}=c$, $\text{DA}=d$ とする。$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$とすると,四角形ABCDの面積 $S$ は,
\begin{align*}
S=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
\end{align*}
と表される。
円に内接する四角形ABCD
ヒロ
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ちなみに,三角形を四角形の特別な場合と見て $d=0$ とするとヘロンの公式が得られる。

2019年 京都府立大

ヒロ
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2019年の京都府立大でブラーマグプタの公式の証明が出題されている。

2019年 京都府立大以下の問いに答えよ。
(1) $a^4-2a^2b^2-2a^2c^2+b^4-2b^2c^2+c^4$ を因数分解せよ。
(2) 円に内接する四角形ABCDにおいて,$\text{AB}=a$, $\text{BC}=b$, $\text{CD}=c$, $\text{DA}=d$ とする。四角形ABCDの面積は,
\begin{align*}
\dfrac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
\end{align*}
であることを示せ。
【(1)の考え方と解答】
$a,~b,~c$ の3文字あり,どれについても最高次数が等しいから $a$ に着目して因数分解しよう。
\begin{align*}
(与式)&=a^4-2(b^2+c^2)a^2+b^4-2b^2c^2+c^4 \\[4pt]
&=a^4-2(b^2+c^2)a^2+(b^2-c^2)^2 \\[4pt]
&=\{a^2-(b+c)^2\}\{a^2-(b-c)^2\} \\[4pt]
&=(a+b+c)(a-b-c)(a+b-c)(a-b+c)
\end{align*}

(2) 円に内接する四角形ABCDにおいて,$\text{AB}=a$, $\text{BC}=b$, $\text{CD}=c$, $\text{DA}=d$ とする。四角形ABCDの面積は,

\begin{align*}
\dfrac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
\end{align*}
であることを示せ。

【(2)の考え方と解答】
対角線を引いて2つの三角形に分割して面積を求めよう。
$\kaku{BAD}=\theta$ とし,四角形ABCDの面積を $S$ とする。
円に内接する四角形ABCDを2つの三角形に分割する
\begin{align*}
S&=\sankaku{ABD}+\sankaku{BCD} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}ad\sin\theta+\dfrac{1}{2}bc\sin(180\Deg-\theta) \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2}(ad+bc)\sin\theta~\cdots\cdots①
\end{align*}
$\sankaku{ABD}$ と $\sankaku{BCD}$ において,余弦定理を用いると
\begin{align*}
&\text{BD}^2=a^2+d^2-2ad\cos\theta \\[4pt]
&\text{BD}^2=b^2+c^2-2bc\cos(180\Deg-\theta) \\[4pt]
&\qquad =b^2+c^2+2bc\cos\theta
\end{align*}
2式から $\text{BD}^2$ を消去して
\begin{align*}
&a^2+d^2-2ad\cos\theta=b^2+c^2+2bc\cos\theta \\[4pt]
&\cos\theta=\dfrac{a^2+d^2-b^2-c^2}{2(ad+bc)} \\[4pt]
&\cos^2\theta=\dfrac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(ad+bc)^2}
\end{align*}
$\sin\theta>0$ であるから
\begin{align*}
\sin\theta&=\sqrt{1-\cos^2\theta} \\[4pt]
&=\sqrt{1-\dfrac{(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}{4(ad+bc)^2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{4(ad+bc)^2-(a^2+d^2-b^2-c^2)^2}}{2(ad+bc)} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{\{2(ad+bc)+(a^2+d^2-b^2-c^2)\}\{2(ad+bc)-(a^2+d^2-b^2-c^2)\}}}{2(ad+bc)} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{\{(a+d)^2-(b-c)^2\}\{(b+c)^2-(a-d)^2\}}}{2(ad+bc)} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)}}{2(ad+bc)}~\cdots\cdots②
\end{align*}
②を①に代入すると
\begin{align*}
S&=\dfrac{1}{4}\sqrt{(a+d+b-c)(a+d-b+c)(b+c+a-d)(b+c-a+d)} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{4}\sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}
\end{align*}
よって,示された。
ヒロ
ヒロ

最初に書いた公式と形を揃えておこう。

【ブラーマグプタの公式】
$s=\dfrac{a+b+c+d}{2}$ とすると
\begin{align*}
&-a+b+c+d=2(s-a) \\[4pt]
&a-b+c+d=2(s-b) \\[4pt]
&a+b-c+d=2(s-c) \\[4pt]
&a+b+c-d=2(s-d)
\end{align*}
となるから
\begin{align*}
S&=\dfrac{1}{4}\sqrt{2(s-a)\Cdota2(s-b)\Cdota2(s-c)\Cdota2(s-d)} \\[4pt]
&=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}
\end{align*}
となり,最初に書いた形と一致する。

2019年 産業医科大

ヒロ
ヒロ

実際に2019年に産業医科大学で出題された問題を解いてみよう。

2019年 産業医科大円に内接する四角形ABCDにおいて
\begin{align*}
\text{AB}=3,~\text{BC}=4,~\text{CD}=5,~\text{DA}=6
\end{align*}
であるとき,四角形ABCDの面積は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
余弦定理を利用した解法については,別の記事「円に内接する四角形の面積」を参考にして各自で解いて欲しい。ここではブラーマグプタの公式を利用して解いておく。
$s=\dfrac{3+4+5+6}{2}=9$ であるから,四角形ABCDの面積 $S$ は
\begin{align*}
S&=\sqrt{(9-3)(9-4)(9-5)(9-6)} \\[4pt]&=\sqrt{6\Cdota5\Cdota4\Cdota3} \\[4pt]&=6\sqrt{10}
\end{align*}
ヒロ
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このような答えだけを求めれば良い入試においては,短時間で解くことが重要であるから,ブラーマグプタの公式を知っているだけで有利になると思われる。

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