ここでは平面ベクトルと等式・不等式の証明について解説します。
ベクトルの単元でも，等式の証明や不等式の証明問題が出題されることがあります。
ベクトルの大きさと内積の関係を利用して，与えられた等式・不等式の証明をできるようにしましょう。
Contents
2016年 長岡技術科学大
2016年 長岡技術科学大平面内にベクトル $\vec{a},~\vec{b}$ がある。下の問いに答えなさい。
(1) 次の等式を証明しなさい。
(1) 次の等式を証明しなさい。
\begin{align*}
\abs{\vec{a}+\vec{b}}^2-\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2=4\vec{a}\Cdota\vec{b}
\end{align*}
(2) $m,~n$ を実数とするとき，次の等式を証明しなさい。\abs{\vec{a}+\vec{b}}^2-\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2=4\vec{a}\Cdota\vec{b}
\end{align*}
\begin{align*}
\abs{m\vec{a}+n\vec{b}}^2+mn\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2=(m+n)(m\abs{\vec{a}}^2+n\abs{\vec{b}}^2)
\end{align*}
\abs{m\vec{a}+n\vec{b}}^2+mn\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2=(m+n)(m\abs{\vec{a}}^2+n\abs{\vec{b}}^2)
\end{align*}
【(1)の解答と考え方】
\begin{align*}
(左辺)&=\abs{\vec{a}+\vec{b}}^2-\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2 \\[4pt]
&=\abs{\vec{a}}^2+2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2-(\abs{\vec{a}}^2-2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2) \\[4pt]
&=4\vec{a}\Cdota\vec{b}=(右辺)
\end{align*}
(左辺)&=\abs{\vec{a}+\vec{b}}^2-\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2 \\[4pt]
&=\abs{\vec{a}}^2+2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2-(\abs{\vec{a}}^2-2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2) \\[4pt]
&=4\vec{a}\Cdota\vec{b}=(右辺)
\end{align*}
(2) $m,~n$ を実数とするとき，次の等式を証明しなさい。
\begin{align*}
\abs{m\vec{a}+n\vec{b}}^2+mn\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2=(m+n)(m\abs{\vec{a}}^2+n\abs{\vec{b}}^2)
\end{align*}
【(2)の解答と考え方】
\begin{align*}
(左辺)&=\abs{m\vec{a}+n\vec{b}}^2+mn\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2 \\[4pt]
&=m^2\abs{\vec{a}}^2+2mn\vec{a}\Cdota\vec{b}+n^2\abs{\vec{b}}^2+mn(\abs{\vec{a}}^2-2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2) \\[4pt]
&=m(m+n)\abs{\vec{a}}^2+n(n+m)\abs{\vec{b}}^2 \\[4pt]
&=(m+n)(m\abs{\vec{a}}^2+n\abs{\vec{b}}^2)
\end{align*}
(左辺)&=\abs{m\vec{a}+n\vec{b}}^2+mn\abs{\vec{a}-\vec{b}}^2 \\[4pt]
&=m^2\abs{\vec{a}}^2+2mn\vec{a}\Cdota\vec{b}+n^2\abs{\vec{b}}^2+mn(\abs{\vec{a}}^2-2\vec{a}\Cdota\vec{b}+\abs{\vec{b}}^2) \\[4pt]
&=m(m+n)\abs{\vec{a}}^2+n(n+m)\abs{\vec{b}}^2 \\[4pt]
&=(m+n)(m\abs{\vec{a}}^2+n\abs{\vec{b}}^2)
\end{align*}
2020年 静岡大
2020年 静岡大ベクトル $\vec{p},~\vec{q}$ に対して，
\begin{align*}
\abs{\vec{p}+\vec{q}}\leqq\abs{\vec{p}}+\abs{\vec{q}}
\end{align*}
が成り立つことを示せ。\abs{\vec{p}+\vec{q}}\leqq\abs{\vec{p}}+\abs{\vec{q}}
\end{align*}
【解答と考え方】
$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角を $\theta$ とおく。ただし，$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。
$\vec{p}$ と $\vec{q}$ のなす角を $\theta$ とおく。ただし，$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。
\begin{align*}
&(\abs{\vec{p}}+\abs{\vec{q}})^2-\abs{\vec{p}+\vec{q}}^2 \\[4pt]
&=\abs{\vec{p}}^2+2\abs{\vec{p}}\abs{\vec{q}}+\abs{\vec{q}}^2-(\abs{\vec{p}}^2+2\vec{p}\Cdota\vec{q}+\abs{\vec{q}}^2) \\[4pt]
&=2(\abs{\vec{p}}\abs{\vec{q}}-\vec{p}\Cdota\vec{q}) \\[4pt]
&=2\abs{\vec{p}}\abs{\vec{q}}(1-\cos\theta)\geqq0
\end{align*}
よって，$(\abs{\vec{p}}+\abs{\vec{q}})^2\geqq\abs{\vec{p}+\vec{q}}^2$ であるから&(\abs{\vec{p}}+\abs{\vec{q}})^2-\abs{\vec{p}+\vec{q}}^2 \\[4pt]
&=\abs{\vec{p}}^2+2\abs{\vec{p}}\abs{\vec{q}}+\abs{\vec{q}}^2-(\abs{\vec{p}}^2+2\vec{p}\Cdota\vec{q}+\abs{\vec{q}}^2) \\[4pt]
&=2(\abs{\vec{p}}\abs{\vec{q}}-\vec{p}\Cdota\vec{q}) \\[4pt]
&=2\abs{\vec{p}}\abs{\vec{q}}(1-\cos\theta)\geqq0
\end{align*}
\begin{align*}
\abs{\vec{p}+\vec{q}}\leqq\abs{\vec{p}}+\abs{\vec{q}}
\end{align*}
\abs{\vec{p}+\vec{q}}\leqq\abs{\vec{p}}+\abs{\vec{q}}
\end{align*}