【数学ⅡB】複素数と2次方程式【東洋大・津田塾大】

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係数が複素数の2次方程式【津田塾大】

2020年津田塾大$i=\sqrt{-1}$ は虚数単位である。以下の問いに答えよ。
(1) 実数の定数 $a$ を含む次の方程式が実数解をもつとき，実数解と $a$ の値を求めよ。

\begin{align*}
(a+i)x+8-a^2i=0
\end{align*}

(2) 実数の定数 $b$ を含む次の方程式が実数解をもつとき，実数解と $b$ の値を求めよ。

\begin{align*}
(1+i)x^2+(2b-1+b^2i)x+b+b^2i=0
\end{align*}

【(1)の考え方と解答】
与えられた方程式より

\begin{align*}
(ax+8)+(x-a^2)i=0
\end{align*}

$a,~x$ は実数であるから

\begin{align*}
ax+8=0,~x-a^2=0
\end{align*}

これらから $x$ を消去すると $a^3+8=0$ となる。$a$ は実数であるから，$a=-2$
このとき，$x=a^2=4$

(2) 実数の定数 $b$ を含む次の方程式が実数解をもつとき，実数解 $b$ の値を求めよ。
\begin{align*}
(1+i)x^2+(2b-1+b^2i)x+b+b^2i=0
\end{align*}

【(2)の考え方と解答】
与えられた方程式より

\begin{align*}
x^2+(2b-1)x+b+(x^2+b^2x+b^2)i=0
\end{align*}

$b,~x$ は実数であるから

\begin{align*}
\begin{cases}
x^2+(2b-1)x+b=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
x^2+b^2x+b^2=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}

①，②より $x^2$ を消去すると

\begin{align*}
&(b^2-2b+1)x+b^2-b=0 \\[4pt]
&(b-1)^2x+b(b-1)=0 \\[4pt]
&(b-1)\{(b-1)x+b\}=0 \\[4pt]
&b=1~または~x=-\dfrac{b}{b-1}
\end{align*}

$b=1$ のとき
与えられた方程式は

\begin{align*}
&x^2+x+1+(x^2+x+1)i=0 \\[4pt]
&(x^2+x+1)(x+i)=0
\end{align*}

となり，$x^2+x+1=0$ を解くと，$x=\dfrac{-1\pm\sqrt{3}i}{2}$ であり，$x+i=0$ を解くと $x=-i$ となる。したがって，与えられた方程式は実数解をもたないから不適。
$x=-\dfrac{b}{b-1}$ のとき
①に代入すると

\begin{align*}
&\dfrac{b^2}{(b-1)^2}-\dfrac{b(2b-1)}{b-1}+b=0 \\[4pt]
&b^2-b(2b-1)(b-1)+b(b-1)^2=0 \\[4pt]
&b^3-2b^2=0 \\[4pt]
&b^2(b-2)=0 \\[4pt]
&b=0,~2
\end{align*}

$b=0$ のとき，$x=0$ であり，$b=2$ のとき，$x=-2$