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2019年 東北学院大
2019年 東北学院大$\cos\theta+\cos^2\theta=1$ のとき，$\sin^2\theta+\sin^4\theta=\myhako$ である。
【考え方と解答】
与えられた等式と相互関係をうまく利用しよう。$\cos\theta+\cos^2\theta=1$ より
与えられた等式と相互関係をうまく利用しよう。$\cos\theta+\cos^2\theta=1$ より
\begin{align*}
&1-\cos^2\theta=\cos\theta \\[4pt]
&\sin^2\theta=\cos\theta
\end{align*}
よって，$\sin^4\theta=\cos^2\theta$ となるから&1-\cos^2\theta=\cos\theta \\[4pt]
&\sin^2\theta=\cos\theta
\end{align*}
\begin{align*}
\sin^2\theta+\sin^4\theta=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\end{align*}
\sin^2\theta+\sin^4\theta=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\end{align*}
2018年 自治医科大
2018年 自治医科大$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ であるとき，
\begin{align*}
2\sin^3\theta+2\cos^3\theta-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
の値を求めよ。2\sin^3\theta+2\cos^3\theta-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
ヒロ
3次式の展開・因数分解の知識については，次の記事が参考になるだろう。
【数学ⅡB】3次式の展開【広島国際学院大・山形大】
ここでは3次式の展開について説明します。 ただ展開するだけの問題は，大学入試ではほとんど出題されませんが，因数分解の基本にもなるため，自由に展開できるようにしておきましょう。 3次式の展開公式 ヒロ まずは $(a+b)^3$ を展開してみ...
methodology.site
2020.07.17
【数学ⅡB】3次式の因数分解【広島工業大・関西学院大・北海道医療大・東海大】
ここでは3次式の因数分解について説明します。 3次式の因数分解の問題では，単に展開公式を逆に使うだけの問題もありますが，2次式の因数分解と異なり，公式の使い方がややこしくなることがあります。 正しく対応できるようにしましょう。 3次式の因数...
methodology.site
2020.07.18
【考え方と解答】
与えられた条件式と値を求める式は，$\sin\theta$ と $\cos\theta$ について対称な式である。したがって，$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ で表せるはずである。これに加えて三角関数の問題では，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ が成り立つことに注意しよう。
また，三角関数の場合，3乗の和については対称式の変形ではなく，因数分解をして「$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$」を利用した方が良い気がする。
まずは $\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよう。$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ の両辺を2乗すると
与えられた条件式と値を求める式は，$\sin\theta$ と $\cos\theta$ について対称な式である。したがって，$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ で表せるはずである。これに加えて三角関数の問題では，$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ が成り立つことに注意しよう。
また，三角関数の場合，3乗の和については対称式の変形ではなく，因数分解をして「$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$」を利用した方が良い気がする。
まずは $\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよう。$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ の両辺を2乗すると
\begin{align*}
&(\sin\theta+\cos\theta)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[4pt]
&1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{3}{8}
\end{align*}
よって&(\sin\theta+\cos\theta)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[4pt]
&1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{3}{8}
\end{align*}
\begin{align*}
&2\sin^3\theta+2\cos^3\theta-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2(\sin^3\theta+\cos^3\theta)-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2\Cdota\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{3}{8}\right)-3\Cdota\left(-\dfrac{3}{8}\right)+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{22+18+8}{16}=3
\end{align*}
&2\sin^3\theta+2\cos^3\theta-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2(\sin^3\theta+\cos^3\theta)-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2\Cdota\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{3}{8}\right)-3\Cdota\left(-\dfrac{3}{8}\right)+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{22+18+8}{16}=3
\end{align*}
2018年 産業医科大
2018年 産業医科大$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ のとき $\dfrac{\tan^3\theta}{\tan^6\theta+1}$ の値は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
何度も $\sin\theta,~\cos\theta$ を書くのが面倒なときは，文字の置き換えをしよう。$\sin\theta=s,~\cos\theta=c$ とすると，与えられた式は $s,~c$ で表せる。また，少し暗算で計算すると $sc$ の値が必要になることが分かるから，先に求めておこう。$s+c=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ より
何度も $\sin\theta,~\cos\theta$ を書くのが面倒なときは，文字の置き換えをしよう。$\sin\theta=s,~\cos\theta=c$ とすると，与えられた式は $s,~c$ で表せる。また，少し暗算で計算すると $sc$ の値が必要になることが分かるから，先に求めておこう。$s+c=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ より
\begin{align*}
&(s+c)^2=\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&1+2sc=\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&sc=-\dfrac{2}{5}
\end{align*}
与えられた式の分母分子に $c^6$ をかけると&(s+c)^2=\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&1+2sc=\dfrac{1}{5} \\[4pt]
&sc=-\dfrac{2}{5}
\end{align*}
\begin{align*}
（与式）&=\dfrac{s^3c^3}{s^6+c^6} \\[4pt]
&=\dfrac{s^3c^3}{(s^2+c^2)(s^4-s^2c^2+c^4)} \\[4pt]
&=\dfrac{s^3c^3}{(s^2+c^2)^2-3s^2c^2} \\[4pt]
&=\dfrac{\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3}{1^2-3\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2}~~(\because s^2+c^2=1) \\[4pt]
&=-\dfrac{8}{65}
\end{align*}
（与式）&=\dfrac{s^3c^3}{s^6+c^6} \\[4pt]
&=\dfrac{s^3c^3}{(s^2+c^2)(s^4-s^2c^2+c^4)} \\[4pt]
&=\dfrac{s^3c^3}{(s^2+c^2)^2-3s^2c^2} \\[4pt]
&=\dfrac{\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3}{1^2-3\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2}~~(\because s^2+c^2=1) \\[4pt]
&=-\dfrac{8}{65}
\end{align*}