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【数学ⅡB】三角関数の様々な式の値【大阪薬科大・東北学院大・産業医科大】

三角関数の式の値数学IAIIB
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2019年 東北学院大

2019年 東北学院大$\cos\theta+\cos^2\theta=1$ のとき,$\sin^2\theta+\sin^4\theta=\myhako$ である。
【考え方と解答】
与えられた等式と相互関係をうまく利用しよう。$\cos\theta+\cos^2\theta=1$ より
\begin{align*}
&1-\cos^2\theta=\cos\theta \\[4pt]
&\sin^2\theta=\cos\theta
\end{align*}
よって,$\sin^4\theta=\cos^2\theta$ となるから
\begin{align*}
\sin^2\theta+\sin^4\theta=\sin^2\theta+\cos^2\theta=1
\end{align*}

2018年 自治医科大

2018年 自治医科大$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ であるとき,
\begin{align*}
2\sin^3\theta+2\cos^3\theta-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2}
\end{align*}
の値を求めよ。
ヒロ
ヒロ

3次式の展開・因数分解の知識については,次の記事が参考になるだろう。

【考え方と解答】
 与えられた条件式と値を求める式は,$\sin\theta$ と $\cos\theta$ について対称な式である。したがって,$\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ で表せるはずである。これに加えて三角関数の問題では,$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ が成り立つことに注意しよう。
 また,三角関数の場合,3乗の和については対称式の変形ではなく,因数分解をして「$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$」を利用した方が良い気がする。
 まずは $\sin\theta\cos\theta$ の値を求めよう。$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2}$ の両辺を2乗すると
\begin{align*}
&(\sin\theta+\cos\theta)^2=\left(\dfrac{1}{2}\right)^2 \\[4pt]
&1+2\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{4} \\[4pt]
&\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{3}{8}
\end{align*}
よって
\begin{align*}
&2\sin^3\theta+2\cos^3\theta-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2(\sin^3\theta+\cos^3\theta)-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2(\sin\theta+\cos\theta)(\sin^2\theta-\sin\theta\cos\theta+\cos^2\theta)-3\sin\theta\cos\theta+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2\Cdota\dfrac{1}{2}\left(1+\dfrac{3}{8}\right)-3\Cdota\left(-\dfrac{3}{8}\right)+\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{22+18+8}{16}=3
\end{align*}

2018年 産業医科大

2018年 産業医科大$\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ のとき $\dfrac{\tan^3\theta}{\tan^6\theta+1}$ の値は $\myhako$ である。
【考え方と解答】
何度も $\sin\theta,~\cos\theta$ を書くのが面倒なときは,文字の置き換えをしよう。$\sin\theta=s,~\cos\theta=c$ とすると,与えられた式は $s,~c$ で表せる。また,少し暗算で計算すると $sc$ の値が必要になることが分かるから,先に求めておこう。$s+c=\dfrac{\sqrt{5}}{5}$ より
\begin{align*}
&(s+c)^2=\dfrac{1}{5} \\[4pt]&1+2sc=\dfrac{1}{5} \\[4pt]&sc=-\dfrac{2}{5}
\end{align*}
与えられた式の分母分子に $c^6$ をかけると
\begin{align*}
(与式)&=\dfrac{s^3c^3}{s^6+c^6} \\[4pt]&=\dfrac{s^3c^3}{(s^2+c^2)(s^4-s^2c^2+c^4)} \\[4pt]&=\dfrac{s^3c^3}{(s^2+c^2)^2-3s^2c^2} \\[4pt]&=\dfrac{\left(-\dfrac{2}{5}\right)^3}{1^2-3\left(-\dfrac{2}{5}\right)^2}~~(\because s^2+c^2=1) \\[4pt]&=-\dfrac{8}{65}
\end{align*}
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