【数学ⅡB】三角関数の最大・最小 part2【関西医科大・玉川大・日本女子大】

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2020年玉川大

2020年玉川大$x$ の関数 $f(x)$ を

\begin{align*}
f(x)=2\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x-2\sqrt{3}\sin x+2\cos x~(0\leqq x\leqq\pi)
\end{align*}

とする。$t=\sqrt{3}\sin x-\cos x$ とおいて，$f(x)$ を $t$ の式で表すと $f(x)=t^2-\myhako\,t-\myhako$ となる。したがって，$f(x)$ の最大値は $\myhako$，最小値は $\myhako$ である。

【考え方と解答】
　この問題には誘導があるから，誘導通り解き進めよう。$t=\sqrt{3}\sin x-\cos x$ とおくと

\begin{align*}
t=2\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)
\end{align*}

$0\leqq x\leqq\pi$ のとき，$-\dfrac{\pi}{6}\leqq x-\dfrac{\pi}{6}\leqq\dfrac{5}{6}\pi$ であるから

\begin{align*}
&-\dfrac{1}{2}\leqq\sin\left(x-\dfrac{\pi}{6}\right)\leqq1 \\[4pt]&-1\leqq t\leqq2
\end{align*}

$y$ を $t$ で表す準備として $t^2$ を計算してみる。

\begin{align*}
t^2&=(\sqrt{3}\sin x-\cos x)^2 \\[4pt]&=3\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+\cos^2x \\[4pt]&=2\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+1
\end{align*}

$y$ を $t$ で表すと次のようになる。

\begin{align*}
y&=(2\sin^2x-2\sqrt{3}\sin x\cos x+1)-2(\sqrt{3}\sin x-\cos x)-1 \\[4pt]&=t^2-2t-1 \\[4pt]&=(t-1)^2-2
\end{align*}

よって，$y$ は $t=-1$ のとき最大値2をとり，$t=1$ のとき最小値 $-2$ をとる。
ちなみに $x$ の値を答える必要はないが，求めると次のようになる。
$t=-1$ のとき

\begin{align*}
\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)=-\dfrac{1}{2}
\end{align*}

であるから，$x-\dfrac{\pi}{6}=-\dfrac{\pi}{6}$ より，$x=0$
$t=1$ のとき

\begin{align*}
\sin\left(\theta-\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{2}
\end{align*}

であるから，

\begin{align*}
&x-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi \\[4pt]&x=\dfrac{\pi}{3},~\pi
\end{align*}

ヒロ

誘導がなくても置き換え方が分かるようにしよう。