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2018年 一橋大
2018年 一橋大$m$ を実数とし，$0\leqq\theta\leqq\pi$ とする。3次方程式 $x^3+mx+\sqrt{2}=0$ は異なる3つの実数解 $2\sin\theta,~-2\cos\theta,~2\sin3\theta$ をもつ。$m$ と $\theta$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
3次方程式の3つの解が与えられているから，解を代入して3本の等式を得るか，解と係数の関係を利用して3本の等式を得るかのどちらが扱いやすい等式になるかを考える。代入した場合の3本の等式は次のようになる。
一方で，解と係数の関係を利用した場合の3本の等式は次のようになる。式番号はあえて振り直している。
このような考えによって，解と係数の関係を利用して解くことにする。①より
また，$0\leqq2\theta\leqq2\pi$ であるから，$\sin2\theta=\dfrac{1}{2}$ より
3次方程式の3つの解が与えられているから，解を代入して3本の等式を得るか，解と係数の関係を利用して3本の等式を得るかのどちらが扱いやすい等式になるかを考える。代入した場合の3本の等式は次のようになる。
\begin{align*}
\begin{cases}
8\sin^3\theta+2m\sin\theta+\sqrt{2}=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
-8\cos^3\theta-2m\cos\theta+\sqrt{2}=0 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
8\sin^33\theta+2m\sin3\theta+\sqrt{2}=0 &~\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}
3本とも $\theta$ と $m$ が混在する等式である。次数も高く扱いにくい。\begin{cases}
8\sin^3\theta+2m\sin\theta+\sqrt{2}=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
-8\cos^3\theta-2m\cos\theta+\sqrt{2}=0 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
8\sin^33\theta+2m\sin3\theta+\sqrt{2}=0 &~\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}
一方で，解と係数の関係を利用した場合の3本の等式は次のようになる。式番号はあえて振り直している。
\begin{align*}
\begin{cases}
2\sin\theta-2\cos\theta+2\sin3\theta=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
-4\sin\theta\cos\theta+4\sin\theta\sin3\theta-4\cos\theta\sin3\theta=m &~\cdots\cdots② \\[4pt]
-8\sin\theta\cos\theta\sin3\theta=-\sqrt{2} &~\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}
代入した場合と異なり，①と③は $m$ を含まない $\theta$ だけの等式であるから，①か③のどちらかを解くことができれば $\theta$ を求めることができる。$\theta$ を求めることができれば，②から $m$ も求めることができる。\begin{cases}
2\sin\theta-2\cos\theta+2\sin3\theta=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
-4\sin\theta\cos\theta+4\sin\theta\sin3\theta-4\cos\theta\sin3\theta=m &~\cdots\cdots② \\[4pt]
-8\sin\theta\cos\theta\sin3\theta=-\sqrt{2} &~\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}
このような考えによって，解と係数の関係を利用して解くことにする。①より
\begin{align*}
&(\sin\theta+\sin3\theta)-\cos\theta=0 \\[4pt]
&2\sin2\theta\cos\theta-\cos\theta=0 \\[4pt]
&\cos\theta(2\sin2\theta-1)=0 \\[4pt]
&\cos\theta=0~または~\sin2\theta=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
$0\leqq\theta\leqq\pi$ であるから，$\cos\theta=0$ より $\theta=\dfrac{\pi}{2}$&(\sin\theta+\sin3\theta)-\cos\theta=0 \\[4pt]
&2\sin2\theta\cos\theta-\cos\theta=0 \\[4pt]
&\cos\theta(2\sin2\theta-1)=0 \\[4pt]
&\cos\theta=0~または~\sin2\theta=\dfrac{1}{2}
\end{align*}
また，$0\leqq2\theta\leqq2\pi$ であるから，$\sin2\theta=\dfrac{1}{2}$ より
\begin{align*}
&2\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{12},~\dfrac{5}{12}\pi
\end{align*}
よって，&2\theta=\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{5}{6}\pi \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{12},~\dfrac{5}{12}\pi
\end{align*}
\begin{align*}
\theta=\dfrac{\pi}{12},~\dfrac{5}{12}\pi,~\dfrac{\pi}{2}~\cdots\cdots(*)
\end{align*}
③より\theta=\dfrac{\pi}{12},~\dfrac{5}{12}\pi,~\dfrac{\pi}{2}~\cdots\cdots(*)
\end{align*}
\begin{align*}
4\sin2\theta\sin3\theta=\sqrt{2}~\cdots\cdots④
\end{align*}
(＊)の $\theta$ は $0\leqq\theta\leqq\dfrac{3}{2}\pi$ をみたすから，$0\leqq2\theta\leqq\pi$ をみたす。このとき，$\sin2\theta\geqq0$ であるから④より4\sin2\theta\sin3\theta=\sqrt{2}~\cdots\cdots④
\end{align*}
\begin{align*}
\sin3\theta\geqq0~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
$\alpha=\dfrac{\pi}{12},~\beta=\dfrac{5}{12}\pi,~\gamma=\dfrac{\pi}{2}$ とおくと\sin3\theta\geqq0~\cdots\cdots⑤
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin3\alpha=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\geqq0 \\[4pt]
&\sin3\beta=\sin\dfrac{5}{4}\pi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0 \\[4pt] &\sin3\gamma=\sin\dfrac{3}{2}\pi=-1<0 \end{align*}
となるから，⑤をみたすのは $\theta=\alpha$ のみである。このとき④の左辺を計算すると &\sin3\alpha=\sin\dfrac{\pi}{4}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\geqq0 \\[4pt]
&\sin3\beta=\sin\dfrac{5}{4}\pi=-\dfrac{\sqrt{2}}{2}<0 \\[4pt] &\sin3\gamma=\sin\dfrac{3}{2}\pi=-1<0 \end{align*}
\begin{align*} 4\sin2\alpha\sin3\alpha&=4\sin\dfrac{\pi}{6}\sin\dfrac{\pi}{4} \\[4pt] &=4\Cdota\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2} \end{align*}
となり④が成り立つ。また，このとき②より \begin{align*} m=-2\sin2\alpha+4\sin3\alpha(\sin\alpha-\cos\alpha) \end{align*}
ここで \begin{align*} \sin\alpha&=\sin\dfrac{\pi}{12}=\sin\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Cdota\dfrac{\sqrt{2}}{2}-\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4} \\[4pt] \cos\alpha&=\cos\dfrac{\pi}{12}=\cos\left(\dfrac{\pi}{3}-\dfrac{\pi}{4}\right) \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{\sqrt{2}}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\Cdota\dfrac{\sqrt{2}}{2} \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\[4pt] \sin2\alpha&=\sin\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{2} \end{align*}
であるから \begin{align*} m&=-2\Cdota\dfrac{1}{2}+4\Cdota\dfrac{\sqrt{2}}{2}\left(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}-\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\right) \\[4pt] &=-1+2\sqrt{2}\Cdota\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)=-3 \end{align*}
したがって，$m=-3,~\theta=\dfrac{\pi}{12}$