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【数学ⅡB】三角関数を解とする3次方程式【愛媛大・一橋大】

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三角関数を解とする3次方程式数学IAIIB

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2008年 愛媛大

2008年 愛媛大・改$a$ と $\theta$ を定数とし,3次方程式
\begin{align*}
8x^3-12x^2+x+a=0~\cdots\cdots(*)
\end{align*}
は $\sin\theta$ と $\cos\theta~(\sin\theta\neq\cos\theta)$ を解にもつとする。
このとき,定数 $a$ の値と3次方程式(*)のすべての解を求めよ。
【解法のアプローチ】
 3次方程式の2つの解が与えられているが,残りの1つは与えられていない。解を代入する場合は,2本の等式を得る。この場合は,2本の等式から $\theta$ と $a$ を求めることを考える。うまく求めることができれば,残りの解も求めることができるだろう。
 解と係数の関係を利用する場合は,残りの解を文字でおいて3本の等式を得ることになる。この場合は解けた時点で,$a$ と3次方程式のすべての解を求めることができる。

解を代入する解法

【解を代入する解法】
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ が(*)の解であるから
\begin{align*}
\begin{cases}
8\sin^3\theta-12\sin^2\theta+\sin\theta+a=0 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
8\cos^3\theta-12\cos^2\theta+\cos\theta+a=0 &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}
連立方程式を解く基本的な考え方は「1つの文字を消去する」ことであるから,$①-②$ を考えよう。この時点で,$\sin\theta-\cos\theta$ でくくれることまで分かるようになると良いだろう。$①-②$ より
\begin{align*}
&8(\sin^3\theta-\cos^3\theta)-12(\sin^2\theta-\cos^2\theta)+(\sin\theta-\cos\theta)=0 \\[4pt]
&(\sin\theta-\cos\theta)\{8(1+\sin\theta\cos\theta)-12(\sin\theta+\cos\theta)+1\}=0
\end{align*}
$\sin\theta\neq\cos\theta$ であるから
\begin{align*}
&8(1+\sin\theta\cos\theta)-12(\sin\theta+\cos\theta)+1=0 \\[4pt]
&8\sin\theta\cos\theta-12(\sin\theta+\cos\theta)+9=0~\cdots\cdots③
\end{align*}
ここで $\sin\theta+\cos\theta=t$ とおくと
\begin{align*}
t=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)
\end{align*}
となるから,$-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$
また,$\sin\theta\cos\theta=\dfrac{t^2-1}{2}$ であるから③より
\begin{align*}
&8\Cdota\dfrac{t^2-1}{2}-12t+9=0 \\[4pt]
&4t^2-12t+5=0 \\[4pt]
&(2t-1)(2t-5)=0 \\[4pt]
&t=\dfrac{1}{2},~\dfrac{5}{2}
\end{align*}
$-\sqrt{2}\leqq t\leqq\sqrt{2}$ より,$t=\dfrac{1}{2}$
このとき
\begin{align*}
\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2},~\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{3}{8}
\end{align*}
となるから $\sin\theta,~\cos\theta$ を解とする $z$ の2次方程式の1つは
\begin{align*}
z^2-\dfrac{1}{2}z-\dfrac{3}{8}=0~\cdots\cdots④
\end{align*}
となり,これより
\begin{align*}
&2z^2-z-\dfrac{3}{4}=0 \\[4pt]
&z=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{4}
\end{align*}
これで与えられた2つの解が求まったが,これを①や②に代入して $a$ の値を求めるのは面倒である。解と係数の関係を利用するのが楽かもしれないが,それなら初めから解と係数の関係を利用すれば良いのではないかということになる。ということで,①と②をうまく利用して $a$ を求めることにする。$①+②$ より
\begin{align*}
&8(\sin^3\theta+\cos^3\theta)-12(\sin^2\theta+\cos^2\theta)+(\sin\theta+\cos\theta)+2a=0 \\[4pt]
&8(\sin\theta+\cos\theta)(1-\sin\theta\cos\theta)-12+(\sin\theta+\cos\theta)+2a=0 \\[4pt]
&8\Cdota\dfrac{1}{2}\left\{1-\left(-\dfrac{3}{8}\right)\right\}-12+\dfrac{1}{2}+2a=0 \\[4pt]
&4+\dfrac{3}{2}-12+\dfrac{1}{2}+2a=0 \\[4pt]
&-6+2a=0 \\[4pt]
&a=3
\end{align*}
あとは残りの解を求めるだけである。④から,与えられた方程式(*)の左辺が $8x^2-4x-3$ で割り切れることを考えて(*)を解く。$x^2$ の項と定数項に着目すると簡単に因数分解できるから,(*)より
\begin{align*}
&8x^3-12x^2+x+3=0 \\[4pt]
&(8x^2-4x-3)(x-1)=0 \\[4pt]
&x=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{4},~1
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

$①-②$ を計算すると $a$ を消去することができる。また $①+②$ を計算すると $\sin\theta$ と $\cos\theta$ の対称式になる。

ヒロ
ヒロ

目的に応じて2つの式の扱い方を変えることができるようになると良いだろう。

解と係数の関係を利用する解法

$a$ と $\theta$ を定数とし,3次方程式

\begin{align*}
8x^3-12x^2+x+a=0~\cdots\cdots(*)
\end{align*}
は $\sin\theta$ と $\cos\theta~(\sin\theta\neq\cos\theta)$ を解にもつとする。
このとき,定数 $a$ の値と3次方程式(*)のすべての解を求めよ。

【解と係数の関係を利用する解法】
方程式(*)の残りの解を $k$ とすると,解と係数の関係より
\begin{align*}
\begin{cases}
\sin\theta+\cos\theta+k=\dfrac{3}{2} &~\cdots\cdots① \\[4pt]k\sin\theta+k\cos\theta+\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{8} &~\cdots\cdots② \\[4pt]k\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{a}{8} &~\cdots\cdots③
\end{cases}
\end{align*}
①より,$\sin\theta+\cos\theta=-k+\dfrac{3}{2}$
両辺を2乗すると
\begin{align*}
&1+2\sin\theta\cos\theta=k^2-3k+\dfrac{9}{4} \\[4pt]&\sin\theta\cos\theta=\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{3}{2}k+\dfrac{5}{8}
\end{align*}
②より
\begin{align*}
&k\left(-k+\dfrac{3}{2}\right)+\dfrac{1}{2}k^2-\dfrac{3}{2}k+\dfrac{5}{8}=\dfrac{1}{8} \\[4pt]&-\dfrac{1}{2}k^2+\dfrac{1}{2}=0 \\[4pt]&k=\pm1
\end{align*}
$k=1$ のとき
\begin{align*}
\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{1}{2},~\sin\theta\cos\theta=-\dfrac{3}{8}
\end{align*}
となるから,$\sin\theta$,$\cos\theta$ は
\begin{align*}
t^2-\dfrac{1}{2}t-\dfrac{3}{8}=0
\end{align*}
の解である。これより $t=\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{4}$
このとき③より
\begin{align*}
a&=-8k\sin\theta\cos\theta \\[4pt]&=-8\Cdota1\Cdota\left(-\dfrac{3}{8}\right) \\[4pt]&=3
\end{align*}
$k=-1$ のとき
\begin{align*}
\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{5}{2}
\end{align*}
ここで
\begin{align*}
\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{4}\right)\leqq\sqrt{2}
\end{align*}
であり,$\dfrac{5}{2}>\sqrt{2}$ であるから不適。
したがって,$a=3$ で3次方程式(*)のすべての解は
\begin{align*}
\dfrac{1\pm\sqrt{7}}{4},~1
\end{align*}

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