ここでは，三角関数を含む方程式の問題を説明します。
三角関数の公式を色々知ることで，解法の選択肢が増えます。
その結果，初めて見る問題に対して1つの方法でうまくいかなかったとしても，別の方法を試すことができます。
1つの問題に対して，複数の解法が考えられるときは，すべての解法で解いてみることも良い練習になるでしょう。
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2019年 岐阜薬科大
2019年 岐阜薬科大方程式 $\sin3\theta=\cos2\theta$ を満たす $\theta$ の正の最小値を求めよ。
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【解法のアプローチ】
サイン・コサインを含む方程式では，次の解法を考えることになる。
サイン・コサインを含む方程式では，次の解法を考えることになる。
- 角を揃える
- サインかコサインのどちらかに統一する
- 「$(積の形)=0$」に変形する
最初の「角を揃える」考え方の場合，2倍角の公式や3倍角の公式を利用することになるから，結果として次数は上がる。また，この問題ではサインに統一することができて $\sin\theta$ の3次方程式になる。この後，1つの問題が生じることを考えておかなければならない。つまり，仮に3次方程式を解くことができて，$\sin\theta$ を求められたとしても，有名角のサインの値でなければ $\theta$ を求めることはできないということである。
求めるものは $\sin\theta$ ではなく，$\theta$ であるから，初めの式から「$\sin A=\sin B$」や「$\cos A=\cos B$」の形に変形した方が $\theta$ を求めやすいだろう。
ヒロ
ということで，「グラグラするとかしないとか」を利用してコサインをサインに変形して解くことにする。
【考え方と解答】
$\cos2\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)$ であるから，与えられた方程式より
$\cos2\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)$ であるから，与えられた方程式より
\begin{align*}
&\sin3\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)
\end{align*}
よって，$n$ を整数とすると&\sin3\theta=\sin\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)
\end{align*}
\begin{align*}
&3\theta=\dfrac{\pi}{2}-2\theta+2n\pi,~\pi-\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)+2n\pi \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2}{5}n\pi,~\dfrac{\pi}{2}+2n\pi
\end{align*}
したがって，求める $\theta$ の正の最小値は $\theta=\dfrac{\pi}{10}$&3\theta=\dfrac{\pi}{2}-2\theta+2n\pi,~\pi-\left(\dfrac{\pi}{2}-2\theta\right)+2n\pi \\[4pt]
&\theta=\dfrac{\pi}{10}+\dfrac{2}{5}n\pi,~\dfrac{\pi}{2}+2n\pi
\end{align*}