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【数学IA】三角形の成立条件

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三角形の成立条件数学IAIIB

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鋭角三角形となる条件に関する問題

ヒロ
ヒロ

それでは次に鋭角三角形となる条件を考えてみよう。

ヒロ
ヒロ

鋭角三角形になるのは,3つの内角がすべて鋭角であるとき,すなわち最大角が鋭角であるときだと分かるだろう。

ヒロ
ヒロ

このことを考えて,次の問題を解いてみよう。

問題3辺の長さが $3,~5,~x$ である三角形が鋭角三角形となるように,$x$ の範囲を定めよ。
【考え方と解答】
まずは三角形の成立条件から考えよう。その後,最大角に着目するために,最大辺を考えよう。
三角形の成立条件より
\begin{align*} &5-3<x<5+3 \\[4pt] &2<x<8~\cdots\cdots① \end{align*}
最大辺の長さになるのは $5$ または $x$ のいずれかである。
(i) 5が最大辺の長さのとき
鋭角三角形になる条件を考えて
\begin{align*} &5^2<3^2+x^2 \\[4pt] &x^2>16 \end{align*}
$x>0$ より $4<x~\cdots\cdots②$
(ii) $x$ が最大辺の長さのとき
(i)と同様に
\begin{align*} &x^2<3^2+5^2=34 \end{align*}
$x>0$ より $0<x<\sqrt{34}~\cdots\cdots③$
よって,求める $x$ の値の範囲は,①かつ(②または③)より
\begin{align*} 4<x<\sqrt{34} \end{align*}
ヒロ
ヒロ

鈍角三角形になるための条件や鋭角三角形になるための条件は入試でも出題されやすいので,しっかり対応できるようにしておこう。

鈍角三角形と鋭角三角形
  1. 鈍角三角形となるのは,最大角が鈍角のときである。
  2. 鋭角三角形となるのは,最大角が鋭角のときである。

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