【数学ⅡB】2つの円の共有点【自治医科大・駒澤大】

ここでは2つの円の共有点を求める方法について説明します。

円と直線の共有点の座標を求める問題と比べると，大学入試で出題される頻度はかなり少ないです。

それは2つの円の共有点を求める問題が，2つの円の共有点を通る直線と2つの円の共有点を求める問題に帰着されるからでしょう。

実際の入試ではほとんど見る機会はないと思いますが，2つの円の共有点の座標を正確に求められるようにしておきましょう。

Contents

2つの円の共有点の座標を求める方法

ヒロ

2つの円が共有点をもつとき，次の3つの場合に分けられる。

2点で交わる
外接する
内接する

ヒロ

それぞれの場合について，2つの円の共有点の座標を求める方法を説明する。

2点で交わるとき

ヒロ

まずは2つの円が2点で交わるときの共有点の座標を求める方法を説明する。

　円 $C_1:$$x^2+y^2+lx+my+n=0~\cdots\cdots①$ と円 $C_2:$$x^2+y^2+px+qy+r=0~\cdots\cdots②$ が2つの共有点P，Qをもつとする。2つの円の共有点の座標は「①かつ②」をみたす $(x,~y)$ である。
ここで，$①-②$ より

\begin{align*}
(l-p)x+(m-q)y+n-r=0~\cdots\cdots③
\end{align*}

となり，$②+③$ を計算すると①が得られるから「①かつ②」は「①かつ③」と同値である。ちなみに「2つの円の交点を通る直線」の記事で説明したように，直線③は2つの円①と②の共有点を通る直線である。
　したがって，「2つの円①と②の共有点」は「円①と直線③の共有点」と一致する。あとは「円と直線の共有点」の記事でも説明したように，①と③の連立方程式を解くだけである。
　ちなみに「②かつ③」としても結果は同じであるから，①と②をみて計算が楽になると思う方を使えば良い。