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【数学ⅡB】曲線外の点から引いた接線の方程式【北里大・広島工業大】

曲線外の点から引いた接線数学IAIIB

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2020年 北里大

2020年 北里大$f(x)=x^2+2x+3$ とするとき,放物線 $y=f(x)$ の頂点の座標は $\myhako$ であり,この放物線に点 $(1,~0)$ から引いた接線のうち,傾きが正であるものの接点の $x$ 座標は $\myhako$ である。
【前半の解答と考え方】
まずは平方完成して,頂点の座標を求めよう。
\begin{align*}
f(x)=(x+1)^2+2
\end{align*}
よって,頂点の座標は $(-1,~2)$ である。
【後半の解答と考え方】
接点の $x$ 座標が分からないし,それが求めるものであるから,接点の $x$ 座標を $t$ とおいて解答を進めよう。
$f'(x)=2x+2$ より,$(t,~f(t))$ における接線の方程式は
\begin{align*}
&y=(2t+2)(x-t)+t^2+2t+3 \\[4pt]
&y=(2t+2)x-t^2+3
\end{align*}
この接線が点 $(1,~0)$ を通るときを考えて
\begin{align*}
&0=(2t+2)-t^2+3 \\[4pt]
&t^2-2t-5=0 \\[4pt]
&t=1\pm\sqrt{6}
\end{align*}
$y=f(x)$ のグラフは下に凸の放物線であるから,傾きが正であるものの接点の $x$ 座標は,$1+\sqrt{6}$ である。
ヒロ
ヒロ

放物線上にない点から放物線に引いた接線の方程式を求める問題では「放物線の性質」を利用することで微分することなく求めることができる。

接点の $x$ 座標を $t$ とおくと
\begin{align*}
&(t-1)^2=f(1)-0 \\[4pt]
&(t-1)^2=6 \\[4pt]
&t=1\pm\sqrt{6}
\end{align*}
よって,求める $x$ 座標は $1+\sqrt{6}$ である。
ヒロ
ヒロ

考え方をマスターしたい人は次の記事から知識を吸収しよう。

2015年 広島工業大

2015年 広島工業大曲線 $y=x^3+3x^2$ について,次の問いに答えよ。
(1) 曲線上の点 $(t,~t^3+3t^2)$ における接線の方程式を求めよ。
(2) 曲線に点A$(1,~-4)$ から引いた接線の方程式を求めよ。
【(1)の解答と考え方】
$y=x^3+3x^2$ のとき
\begin{align*}
y’=3x^2+6x
\end{align*}
であるから,点 $(t,~t^3+3t^2)$ における接線の方程式は
\begin{align*}
&y=(3t^2+6t)(x-t)+t^3+3t^2 \\[4pt]&y=(3t^2+6t)x-2t^3-3t^2
\end{align*}

(2) 曲線に点A$(1,~-4)$ から引いた接線の方程式を求めよ。

【(2)の解答と考え方】
(1)で求めた接線が点Aを通るときを考えて
\begin{align*}
&-4=(3t^2+6t)-2t^3-3t^2 \\[4pt]&2t^3-6t-4=0 \\[4pt]&(t+1)(t^2-t-2)=0 \\[4pt]&(t+1)^2(t-2)=0 \\[4pt]&t=-1,~2
\end{align*}
よって,求める接線の方程式は
\begin{align*}
y=-3x-1,~y=24x-28
\end{align*}
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