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【数学ⅡB】曲線外の点から引いた接線の方程式【北里大・広島工業大】

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曲線外の点から引いた接線数学IAIIB

曲線上にない点から曲線に引いた接線の方程式を求める方法を説明します。

曲線上の点における接線の方程式を求める問題では,接点の座標が分かっているため,接線の方程式を求めることも簡単にできます。

しかし,曲線外の点から曲線に引いた接線となると,接点が分からないから難しくなります。

どのように考えるのかをしっかり理解して解けるようにしましょう。

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曲線外の点から引いた接線の方程式

ヒロ
ヒロ

接点を求めるときに重要なのは,接点の座標である。

ヒロ
ヒロ

一般的に,接点の $x$ 座標が分からなければ接線の方程式を求めることはできない。

ヒロ
ヒロ

したがって,次の考え方をマスターしよう。

【曲線外の点から引いた接線】
 点 $(p,~q)$ から曲線 $y=f(x)$ に引いた接線を求めるときには,接点の座標を $(t,~f(t))$ とおこう。このとき,接線の方程式は
\begin{align*}
&y=f'(t)(x-t)+f(t) \\[4pt]
&y=f'(t)x-tf'(t)+f(t)
\end{align*}
となる。この接線が点 $(p,~q)$ を通るとき
\begin{align*}
q=f'(t)p-tf'(t)+f(t)~\cdots\cdots①
\end{align*}
が成り立つ。$t$ の方程式①を解くことで接点の $x$ 座標を求めることができる。
 通過する点が $(p,~q)$ と分かっているから求める接線を
\begin{align*}
y=m(x-p)+q
\end{align*}
とおいてしまうと,この直線が $y=f(x)$ と接する条件を考えなければならなくなる。$f(x)$ が2次関数ならそれでも良いが,3次関数ならその条件を考える方が難しくなってしまう。
 ということで,接点の座標を文字で置くことが解法の基本となるだろう。

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