成績を上げるためには自宅学習!

各記事に対応する動画の作成開始しました。
チャンネル登録お願いいたします。

詳細はこちら

【数学Ⅰ】定期テストに出題される2文字の対称式に関する問題

【数学Ⅰ】定期テストに出題される対称式に関する問題数学IAIIB

スポンサーリンク

定期テストで実際に出題された対称式に関する問題2

対称式に関する問題2$x=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}$,$y=\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$ のとき,次の式の値を求めよ。
(1) $x+y$
(2) $x^3+y^3$
ヒロ
ヒロ

まずは和を求めよう。

これも通分することが有理化につながってるタイプですね。

【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} \\[4pt]
&=\dfrac{2\sqrt{3}}{3-2} \\[4pt]
&=2\sqrt{3}
\end{align*}

(2) $x^3+y^3$

ヒロ
ヒロ

この式は対称式だから $x+y$ と $xy$ だけで表せるね。

ヒロ
ヒロ

さっきみたいに $xy$ の値を求める問題がなくても,自分で $xy$ の値を求めて解決しよう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
xy&=\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\times\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3-2} \\[4pt]
&=1
\end{align*}
よって
\begin{align*}
x^3+y^3&=(x+y)^3-3xy(x+y) \\[4pt]
&=(2\sqrt{3})^3-3\Cdota1\Cdota2\sqrt{3} \\[4pt]
&=24\sqrt{3}-6\sqrt{3} \\[4pt]
&=18\sqrt{3}
\end{align*}

定期テストで実際に出題された対称式に関する問題3

対称式に関する問題3$x=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}$,$y=\sqrt{5}-2$ のとき,次の式の値を求めよ。
(1) $x+y,~xy$
(2) $x^2+y^2$
(3) $x^2y+xy^2$
ヒロ
ヒロ

$x+y$ を求めるときは $x$ を有理化してから計算した方が良いね。

ヒロ
ヒロ

ここで次の変形は当然だと思えるような意識を持ってほしい。

$\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}$
【追加説明】
\begin{align*}
&(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}) \\[4pt]&=(n+1)-n \\[4pt]&=1
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}=\sqrt{n+1}+\sqrt{n}
\end{align*}
が成り立つ。
【(1)の解答】
\begin{align*}
x+y&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]&=(\sqrt{5}+2)+(\sqrt{5}-2) \\[4pt]&=2\sqrt{5}
\end{align*}

(2) $x^2+y^2$

ヒロ
ヒロ

(1)が解ければ,もう大丈夫だろう。

【(2)の解答】
\begin{align*}
xy&=\dfrac{1}{\sqrt{5}-2}\times(\sqrt{5}-2)=1
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
x^2+y^2&=(x+y)^2-2xy \\[4pt]&=(2\sqrt{5})^2-2\Cdota1 \\[4pt]&=18
\end{align*}

(3) $x^2y+xy^2$

ヒロ
ヒロ

この式の $x$ と $y$ を入れ替えると $y^2x+yx^2$ となって元の式と変わらないから対称式だね。

ヒロ
ヒロ

ということで $x+y$ と $xy$ だけで表せるはず。

【(3)の解答】
\begin{align*}
x^2y+xy^2&=xy(x+y) \\[4pt]&=1\times2\sqrt{5} \\[4pt]&=2\sqrt{5}
\end{align*}

タイトルとURLをコピーしました