【数学ⅡB】三角関数の和積公式と積和公式【北見工業大・首都大学東京】

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和積公式

ヒロ

和積公式とは次のようなものである。

和積公式

$\displaystyle
\sin A+\sin B=2\sin\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑤
$
$\displaystyle
\sin A-\sin B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑥
$
$\displaystyle
\cos A+\cos B=2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑦
$
$\displaystyle
\cos A-\cos B=-2\sin\dfrac{A+B}{2}\sin\dfrac{A-B}{2}~\cdots\cdots⑧
$

積和公式の導出

ヒロ

それでは加法定理を利用して，積和公式を導出しよう。

$\displaystyle
\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots①
$

【①の導出】
「サイン×コサイン」を和の形に変形したいとき，サイン×コサインが現れる加法定理を考える。それはサインの加法定理であるから，次の2本を考える。

\begin{align*}
&\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta~\cdots\cdots⑨ \\[4pt]
&\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta~\cdots\cdots⑩
\end{align*}

$⑨+⑩$ より

\begin{align*}
&\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)=2\sin\alpha\cos\beta \\[4pt]
&\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
\end{align*}

「これだけの作業」で①を導くことができた。この作業を数秒でできるなら，暗記する必要はないだろう。

ヒロ

ただ，書くのが面倒に感じると思うので，書き方を工夫することで速く楽に書くことができる。

【書き方の工夫例】
　2つの角 $\alpha,~\beta$ は，この順に現れるから，角を書くのを省略する。また，$\sin$ を $s$，$\cos$ を $c$ と書く。したがって，$\sin(\alpha+\beta)$ を $s_+$，$\sin(\alpha-\beta)$ を $s_-$ と書き，$\sin\alpha\cos\beta$ を $sc$ と書く。
　この書き方だと，上で書いた⑨と⑩の加法定理は次のように表せる。

\begin{align*}
&s_+=sc+cs \\[4pt]
&s_-=sc-cs
\end{align*}

辺々を足して2で割れば，右辺が $sc$ になることが分かるから

\begin{align*}
sc=\dfrac{1}{2}(s_++s_-)
\end{align*}

この式は

\begin{align*}
\sin\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)\}
\end{align*}

を表している。角を省略する書き方では混乱するのであれば，$sc$ を $s_{\alpha}c_{\beta}$ と書くのも良いだろう。

ヒロ

以降の導出では，上のような省略した書き方で説明することにする。

$\displaystyle
\cos\alpha\sin\beta=\dfrac{1}{2}\{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots②
$

【②の導出】
コサイン×サインが現れるのはサインの加法定理である。

\begin{align*}
&s_+=sc+cs \\[4pt]
&s_-=sc-cs
\end{align*}

辺々を引いて2で割れば，右辺が $cs$ になるから

\begin{align*}
cs=\dfrac{1}{2}(s_+-s_-)
\end{align*}

$\displaystyle
\sin\alpha\sin\beta=-\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)-\cos(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots③
$

【③の導出】
サイン×サインが現れるのはコサインの加法定理である。

\begin{align*}
&c_+=cc-ss \\[4pt]
&c_-=cc+ss
\end{align*}

辺々を引いて $-2$ で割れば，右辺が $ss$ になるから

\begin{align*}
ss=-\dfrac{1}{2}(c_+-c_-)
\end{align*}

$\displaystyle
\cos\alpha\cos\beta=\dfrac{1}{2}\{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)\}~\cdots\cdots④
$

【④の導出】
コサイン×コサインが現れるのはコサインの加法定理である。

\begin{align*}
&c_+=cc-ss \\[4pt]
&c_-=cc+ss
\end{align*}

辺々を足して2で割れば，右辺が $cc$ になるから

\begin{align*}
cc=\dfrac{1}{2}(c_++c_-)
\end{align*}