2017年センター試験数学ⅠA 第3問場合の数・確率

2017年センター試験数学ⅠA 第3問場合の数・確率の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2017年センターⅠA 第3問確率　あたりが2本，はずれが2本の合計4本からなるくじがある。A，B，Cの3人がこの願に1本ずつくじを引く。ただし，l度引いたくじはもとに戻さない。
(1) A，Bの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_1$ の確率は，$\dfrac{\myBox{ア}}{\myBox{イ}}$ である。
(2) 次の $\mybox{ウ}$, $\mybox{エ}$, $\mybox{オ}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，解答の順序は問わない。
　A，B，Cの3人で2本のあたりのくじを引く事象 $E$ は，3つの排反な事象 $\myBox{ウ}$, $\myBox{エ}$, $\myBox{オ}$ の和事象である。
⓪ Aがはずれのくじを引く事象
① Aだけがはずれのくじを引く事象
② Bがはずれのくじを引く事象
③ Bだけがはずれのくじを引く事象
④ Cがはずれのくじを引く事象
⑤ Cだけがはずれのくじを引く事象
　また，その和事象の確率は $\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}$ である。
(3) 事象 $E_1$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率は，$\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ である。
(4) 次の $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，解答の順序は問わない。
　B，Cの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_2$ は，3つの排反な事象 $\myBox{コ}$, $\myBox{サ}$, $\myBox{シ}$ の和事象である。
⓪ Aがはずれのくじを引く事象
① Aだけがはずれのくじを引く事象
② Bがはずれのくじを引く事象
③ Bだけがはずれのくじを引く事象
④ Cがはずれのくじを引く事象
⑤ Cだけがはずれのくじを引く事象
　また，その和事象の確率は $\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ である。他方，A，Cの少なくとも一方があたりのくじをひく事象 $E_3$ の確率は，$\dfrac{\myBox{ソ}}{\myBox{タ}}$ である。
(5) 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑥のうちから一つ選べ。
　事象 $E_1$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_1$，事象 $E_2$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_2$，事象 $E_3$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_3$ の間の大小関係は，$\myBox{チ}$ である。
⓪ $p_1<p_2<p_3$　① $p_1>p_2>p_3$　② $p_1<p_2=p_3$
③ $p_1>p_2=p_3$　④ $p_1=p_2<p_3$　⑤ $p_1=p_2>p_3$
⑥ $p_1=p_2=p_3$

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 (4)の解答
5 (5)の解答
6 2017年センター数学ⅠA 場合の数・確率を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

「少なくとも」を見たら余事象を考えるようにしよう。

ヒロ

ただし，そのまま考えた方が速い場合もあるので注意。

【アイの解答】
事象 $E_1$ の余事象 $\overline{E_1}$ を考える。
$\overline{E_1}$ はA，Bがともにはずれのくじを引く事象であり，その確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{4}\Cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{6}
\end{align*}

よって，求める $E_1$ の確率は

\begin{align*}
1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}
\end{align*}

(2)の解答

(2) 次の $\mybox{ウ}$, $\mybox{エ}$, $\mybox{オ}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，解答の順序は問わない。
　A，B，Cの3人で2本のあたりのくじを引く事象 $E$ は，3つの排反な事象 $\myBox{ウ}$, $\myBox{エ}$, $\myBox{オ}$ の和事象である。
⓪ Aがはずれのくじを引く事象
① Aだけがはずれのくじを引く事象
② Bがはずれのくじを引く事象
③ Bだけがはずれのくじを引く事象
④ Cがはずれのくじを引く事象
⑤ Cだけがはずれのくじを引く事象
　また，その和事象の確率は $\dfrac{\myBox{カ}}{\myBox{キ}}$ である。

ヒロ

次は事象 $E$ を3つの排反事象の和事象で答える問題。

【ウ～オの解答】
A，B，Cの3人で2本のあたりのくじを引くとき，3人の中で誰か1人だけがはずれのくじを引くときである。
よって，事象 $E$ は3つの事象①，③，⑤の和事象である。

ヒロ

次はその確率を求めよう。

【カキの解答】
Aだけがはずれのくじを引く確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{4}\Cdot\dfrac{2}{3}\Cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
\end{align*}

Bだけがはずれのくじを引く確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{4}\Cdot\dfrac{2}{3}\Cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
\end{align*}

Cだけがはずれのくじを引く確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{4}\Cdot\dfrac{1}{3}\Cdot\dfrac{2}{2}=\dfrac{1}{6}
\end{align*}

よって，

\begin{align*}
\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}

(3)の解答

(3) 事象 $E_1$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率は，$\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$ である。

ヒロ

次は条件付き確率を求める問題。

【クケの解答】
事象 $E_1\cap E$ は事象 $E$ と等しいから，求める確率は

\begin{align*}
P_{E_1}(E)&=\dfrac{P(E_1\cap E)}{P(E_1)}=\dfrac{P(E)}{P(E_1)} \\[4pt]
&=\dfrac{\dfrac{1}{2}}{\dfrac{5}{6}}=\dfrac{3}{5}
\end{align*}

(4)の解答

(4) 次の $\mybox{コ}$, $\mybox{サ}$, $\mybox{シ}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑤のうちから一つずつ選べ。ただし，解答の順序は問わない。
　B，Cの少なくとも一方があたりのくじを引く事象 $E_2$ は，
3つの排反な事象 $\myBox{コ}$, $\myBox{サ}$, $\myBox{シ}$ の和事象である。
⓪ Aがはずれのくじを引く事象
① Aだけがはずれのくじを引く事象
② Bがはずれのくじを引く事象
③ Bだけがはずれのくじを引く事象
④ Cがはずれのくじを引く事象
⑤ Cだけがはずれのくじを引く事象
　また，その和事象の確率は $\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ である。他方，A，Cの少なくとも一方があたりのくじをひく事象 $E_3$ の確率は，$\dfrac{\myBox{ソ}}{\myBox{タ}}$ である。

ヒロ

丁寧に考えよう。

【コ～シの解答】
事象 $E_2$ が起こる場合を考える。
はずれくじが2本しかないため，Aがはずれくじを引いたとき，B，Cの少なくとも一方は自動的にあたりくじを引くことになる。
また，Aがあたりくじを引いたとき，B，Cのどちらか一方はあたりくじを引かなければならない。
このとき，あたりくじが2本しかないことを考えると，B，Cのいずれか一方がはずれくじを引くことになる。
よって，事象 $E_2$ は3つの排反事象⓪，③，⑤の和事象である。

ヒロ

その和事象の確率を求めよう。

【スセの解答】
Aがはずれのくじを引く確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}
\end{align*}

Bだけがはずれのくじを引く確率とCだけがはずれのくじを引く確率は，
(2)で求めた値を再利用して，どちらも $\dfrac{1}{6}$ である。よって，求める確率は

\begin{align*}
\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}
\end{align*}

ヒロ

事象 $E_3$ の確率を求めよう。

【ソタの解答】
A，Cがともにはずれのくじを引くとき，Bはあたりのくじを引くから，その確率は

\begin{align*}
\dfrac{2}{4}\Cdot\dfrac{2}{3}\Cdot\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}
\end{align*}

であるから，求める事象 $E_3$ の確率は

\begin{align*}
1-\dfrac{1}{6}=\dfrac{5}{6}
\end{align*}

(5)の解答

(5) 次の $\mybox{チ}$ に当てはまるものを，下の⓪～⑥のうちから一つ選べ。
　事象 $E_1$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_1$，事象 $E_2$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_2$，事象 $E_3$ が起こったときの事象 $E$ の起こる条件付き確率 $p_3$ の間の大小関係は，$\myBox{チ}$ である。
⓪ $p_1<p_2<p_3$　① $p_1>p_2>p_3$　② $p_1<p_2=p_3$
③ $p_1>p_2=p_3$　④ $p_1=p_2<p_3$　⑤ $p_1=p_2>p_3$
⑥ $p_1=p_2=p_3$