ここでは三角比の変形について解説します。
90°±θや180°-θの三角比が現れたときに変形できるようにしましょう。
定義に基づいた方法と簡易法「グラグラするとかしないとか」について説明します。
Contents
90°-θ の三角比
ヒロ
まずは $90\Deg-\theta$ の三角比を考えよう。
【$90\Deg-\theta$ の三角比】
$\kaku{A}=\theta$ である三角形ABCを考える。このとき $\kaku{C}=90\Deg-\theta$ となり，考えやすいように向きを変えたものを並べると次のようになる。
三角形ABCにおいて斜辺ACの長さを1とすると，
$\kaku{A}=\theta$ である三角形ABCを考える。このとき $\kaku{C}=90\Deg-\theta$ となり，考えやすいように向きを変えたものを並べると次のようになる。
三角形ABCにおいて斜辺ACの長さを1とすると，
\begin{align*}
\text{AB}=\cos\theta,~\text{BC}=\sin\theta
\end{align*}
である。三角形ABCの向きを変えて $90\Deg-\theta$ に着目すると，\text{AB}=\cos\theta,~\text{BC}=\sin\theta
\end{align*}
\begin{align*}
\text{AB}=\sin(90\Deg-\theta),~\text{BC}=\cos(90\Deg-\theta)
\end{align*}
と表すことができる。ABとBCの長さを2通りの方法で表したが，元が同じ三角形で向きを変えただけだから，それぞれの辺の長さは等しい。したがって\text{AB}=\sin(90\Deg-\theta),~\text{BC}=\cos(90\Deg-\theta)
\end{align*}
\begin{align*}
&\sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta \\[4pt]
&\cos(90\Deg-\theta)=\sin\theta
\end{align*}
また，右側の三角形で $\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{\sin(90\Deg-\theta)}{\cos(90\Deg-\theta)}$ であり，左側の三角形では $\dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta}$ であるから&\sin(90\Deg-\theta)=\cos\theta \\[4pt]
&\cos(90\Deg-\theta)=\sin\theta
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{\sin(90\Deg-\theta)}{\cos(90\Deg-\theta)}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \\[4pt]
&\tan(90\Deg-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}
\end{align*}
&\dfrac{\sin(90\Deg-\theta)}{\cos(90\Deg-\theta)}=\dfrac{\cos\theta}{\sin\theta} \\[4pt]
&\tan(90\Deg-\theta)=\dfrac{1}{\tan\theta}
\end{align*}