【数学IA】2次関数のグラフ

中学校では「2乗に比例する関数」として，2次関数の基本を学習しました。

高校では2乗に比例する関数だけでなく，一般的な2次関数について学習します。

2次関数のグラフの描き方や性質などを知ることで，関数の基礎を身に付けましょう。

Contents

1 2次関数とは
2 2次関数の軸と頂点を求める問題

2次関数とは

ヒロ

2次関数は次のように定義される。

2次関数$x$ の2次式で表される関数を，$x$ の2次関数という。一般的に実数 $a,~b,~c~(a\neq0)$ を用いて

\begin{align*}
y=ax^2+bx+c
\end{align*}

と表される。

$y=ax^2$ のグラフ

ヒロ

$y=ax^2$ のグラフについて復習しておこう。

$y=ax^2$ のグラフ①$y=\dfrac{1}{2}x^2$, ②$y=-\dfrac{2}{3}x^2$, ③$y=2x^2$, ④$y=-\dfrac{1}{3}x^2$ のグラフはそれぞれ次のような曲線になる。

一般に，2次関数 $y=ax^2~(a\neq0)$ のグラフは原点Oを通り，$y$ 軸に関して対称な曲線であり，その曲線は放物線と呼ばれる。

また，放物線は対称な軸をもっており，この対称の軸をその放物線の軸といい，軸と放物線の交点をその放物線の頂点という。
つまり，$y=ax^2$ のグラフは軸が $y$ 軸で，頂点が原点の放物線である。
$a>0$ のとき，$x$ の値が増加すると $x\leq0$ の範囲で $y$ の値は減少し，$x\geq0$ の範囲で $y$ の値は増加する。
$a<0$ のとき，$x$ の値が増加すると $x\leq0$ の範囲で $y$ の値は増加し，$x\geq0$ の範囲で $y$ の値は減少する。
グラフの形状から，$a>0$ のとき，下に凸，$a<0$ のとき，上に凸であるという。

$y=ax^2+q$ のグラフ

ヒロ

次に $y=ax^2+q$ のグラフを考えよう。

ヒロ

$y=ax^2$ との違いは $q$ が足されている部分だね。

ヒロ

つまり，$y=ax^2$ のグラフと比べると，同じ $x$ 座標では $y$ 座標が $q$ だけ大きくなるね。

ヒロ

$q$ が正なら $y$ 軸方向に平行移動させたものになる。

$D:y=ax^2+q$ のグラフ$C:y=ax^2$ のグラフを $y$ 軸方向に $q$ だけ平行移動したもの。
軸は $x=0$，頂点は $(0,~q)$

$y=a(x-p)^2$ のグラフ

ヒロ

次は $y=a(x-p)^2$ のグラフを考えてみよう。

ヒロ

具体例として，次の問題を考える。

問題$y=(x-1)^2$ のグラフを描け。

【$y=(x-1)^2$ のグラフ】

\begin{align*}
\begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline
x & \cdots & -2 & -1 & 0 & 1 & 2 & 3 & \cdots \\\hline
x^2 &\cdots & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & 9 & \cdots \\\hline
(x-1)^2 & \cdots & 9 & 4 & 1 & 0 & 1 & 4 & \cdots \\\hline
\end{array}
\end{align*}

表から，$C:y=x^2$ のグラフと $D:y=(x-1)^2$ のグラフは次のようになり，$D$ は $C$ を $x$ 軸方向に1だけ平行移動したものであることが分かる。