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絶対値を含む不等式の証明問題
2019年 金沢大実数 $p,~q$ について，不等式 $\abs{p+q}\leqq\abs{p}+\abs{q}$ が成り立つことを示せ。
【考え方と解答】
絶対値を含む不等式の証明問題だから，両辺を2乗して考えよう。
絶対値を含む不等式の証明問題だから，両辺を2乗して考えよう。
\begin{align*}
&(\abs{p}+\abs{q})^2-\abs{p+q}^2 \\[4pt]
&=\abs{p}^2+2\abs{p}\abs{q}+\abs{q}^2-(p+q)^2 \\[4pt]
&=p^2+2\abs{p}\abs{q}+q^2-(p^2+2pq+q^2) \\[4pt]
&=2(\abs{pq}-pq)
\end{align*}
ここで&(\abs{p}+\abs{q})^2-\abs{p+q}^2 \\[4pt]
&=\abs{p}^2+2\abs{p}\abs{q}+\abs{q}^2-(p+q)^2 \\[4pt]
&=p^2+2\abs{p}\abs{q}+q^2-(p^2+2pq+q^2) \\[4pt]
&=2(\abs{pq}-pq)
\end{align*}
\begin{align*}
\abs{pq}=
\begin{cases}
pq~(pq\geqq0) \\[4pt]
-pq~(pq<0) \end{cases} \end{align*}
であるから，$\abs{pq}-pq\geqq0$ となる。すなわち \abs{pq}=
\begin{cases}
pq~(pq\geqq0) \\[4pt]
-pq~(pq<0) \end{cases} \end{align*}
\begin{align*} (\abs{p}+\abs{q})^2\geqq\abs{p+q}^2 \end{align*}
$\abs{p}+\abs{q}\geqq0$, $\abs{p+q}\geqq0$ であるから \begin{align*} \abs{p+q}\leqq\abs{p}+\abs{q} \end{align*}
が成り立つ。根号を含む不等式の証明問題
1967年 広島大$p>0,~q>0,~p+q=1$ のとき，次の不等式を証明せよ。
\begin{align*}
p\sqrt{x}+q\sqrt{y}\leqq\sqrt{px+qy}
\end{align*}
p\sqrt{x}+q\sqrt{y}\leqq\sqrt{px+qy}
\end{align*}
【考え方と解答】
両辺の2乗の差をとって証明しよう。
両辺の2乗の差をとって証明しよう。
\begin{align*}
&(\sqrt{px+qy})^2-(p\sqrt{x}+q\sqrt{y})^2 \\[4pt]
&=px+qy-(p^2x+2pq\sqrt{xy}+q^2y) \\[4pt]
&=p(1-p)x+q(1-q)y-2pq\sqrt{xy} \\[4pt]
&=pqx+pqy-2pq\sqrt{xy} \\[4pt]
&=pq(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqq0
\end{align*}
$p\sqrt{x}+q\sqrt{y}\geqq0$, $\sqrt{px+qy}\geqq0$ であるから&(\sqrt{px+qy})^2-(p\sqrt{x}+q\sqrt{y})^2 \\[4pt]
&=px+qy-(p^2x+2pq\sqrt{xy}+q^2y) \\[4pt]
&=p(1-p)x+q(1-q)y-2pq\sqrt{xy} \\[4pt]
&=pqx+pqy-2pq\sqrt{xy} \\[4pt]
&=pq(\sqrt{x}-\sqrt{y})^2\geqq0
\end{align*}
\begin{align*}
p\sqrt{x}+q\sqrt{y}\leqq\sqrt{px+qy}
\end{align*}
p\sqrt{x}+q\sqrt{y}\leqq\sqrt{px+qy}
\end{align*}