預金に関する問題【共立女子大】
2020年 共立女子大金利が1年あたり10％かつ複利で増える（前年の利子分も含めて利子がつく）預金がある。この預金でお金を10倍にするには最低何年かかるか整数で答えよ。ただし，$\log_{10}1.1=0.041$ とする。
【考え方と解答】
はじめの預金額が分からないから，計算が楽になるように「1」にしておこう。$n$ 年後の預金額は
はじめの預金額が分からないから，計算が楽になるように「1」にしておこう。$n$ 年後の預金額は
\begin{align*}
1\times(1+0.1)^n=1.1^n
\end{align*}
になるから，これが10倍になるときを考えて1\times(1+0.1)^n=1.1^n
\end{align*}
\begin{align*}
1.1^n=10
\end{align*}
両辺の常用対数をとると1.1^n=10
\end{align*}
\begin{align*}
&\log_{10}1.1^n=\log_{10}10 \\[4pt]
&n\log_{10}1.1=1 \\[4pt]
&n=\dfrac{1}{\log_{10}1.1} \\[4pt]
&n=\dfrac{1}{0.041}=24.3\cdots
\end{align*}
よって，10倍にするには最低25年かかる。&\log_{10}1.1^n=\log_{10}10 \\[4pt]
&n\log_{10}1.1=1 \\[4pt]
&n=\dfrac{1}{\log_{10}1.1} \\[4pt]
&n=\dfrac{1}{0.041}=24.3\cdots
\end{align*}
ヒロ
もし金利が10％なら，40歳の時点で200万円用意して預ければ，65歳のときには預けた200万円が2000万円となり，老後も安心して暮らせる。
ヒロ
調べたところ，1975年や1980年であれば，定額10年の利率が10％以上であった。利率10％で計算すると，10年経って満期になったときには預けたお金が約2.6倍になる。（$1.1^{10}=2.59\cdots$）
放射性物質に関する問題【京都薬科大】
2018年 京都薬科大ある放射性物質が一定の割合で崩壊し40日が経過した。この物質は，8日経過すると量が半分になる。40日前の量は，現在の量の $\myhako$ 倍である。また，現在の量の1億分の1以下になるのは，崩壊開始後 $\myBox{ア}$ 日目である。ただし，$\log_{10}2=0.3010$ とし，$\myBox{ア}$ は最小の自然数で答えよ。
【考え方と解答】
8日経過すると量が半分になるから，8日前の量は2倍である。$40\div8=5$ で $2^5=32$ であるから，40日前の量は現在の量の32倍である。
現在から $n$ 日後に現在の量の1億分の1以下になるとすると
8日経過すると量が半分になるから，8日前の量は2倍である。$40\div8=5$ で $2^5=32$ であるから，40日前の量は現在の量の32倍である。
現在から $n$ 日後に現在の量の1億分の1以下になるとすると
\begin{align*}
&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{n}{8}}\leqq\dfrac{1}{10^8} \\[4pt]
&-\dfrac{n}{8}\log_{10}2\leqq-8 \\[4pt]
&n\geqq\dfrac{64}{\log_{10}2}=\dfrac{64}{0.3010}=212.6\cdots
\end{align*}
よって，現在から213日後に現在の量の1億分の1以下になる。崩壊は40日前から始まっているから，現在の量の1億分の1以下になるのは，崩壊開始後253日目である。&\left(\dfrac{1}{2}\right)^{\frac{n}{8}}\leqq\dfrac{1}{10^8} \\[4pt]
&-\dfrac{n}{8}\log_{10}2\leqq-8 \\[4pt]
&n\geqq\dfrac{64}{\log_{10}2}=\dfrac{64}{0.3010}=212.6\cdots
\end{align*}
フィルターに関する問題【共立女子大】
2018年 共立女子大ある1枚のフィルターを3色の光が透過するとき，入射光に対して赤，緑，青の透過光強度はそれぞれ19％，10％，36％低下する。フィルターを複数枚重ねることにより，透過光強度を調節することができる。入射光に対して，赤の透過光強度を0.1％以上，緑の透過光強度を10％以上，青の透過光強度を0.1％未満にするには，$\myhako$ 枚から $\myhako$ 枚の範囲でフィルターを重ねればよい。ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$ とする。
【考え方と解答】
入射光の透過光強度を1とすると，$n$ 枚のフィルターを光が透過するとき，赤，緑，青の透過光強度はそれぞれ
したがって，$16\leqq n\leqq21$ となるから，16枚から21枚の範囲でフィルターを重ねればよい。
入射光の透過光強度を1とすると，$n$ 枚のフィルターを光が透過するとき，赤，緑，青の透過光強度はそれぞれ
\begin{align*}
0.81^n,~0.9^n,~0.64^n
\end{align*}
となる。与えられた条件を満たすのは0.81^n,~0.9^n,~0.64^n
\end{align*}
\begin{align*}
\begin{cases}
0.81^n\geqq0.001 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
0.9^n\geqq0.1 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
0.64^n<=0.001 &~\cdots\cdots③ \end{cases} \end{align*}
①の両辺の常用対数をとると \begin{cases}
0.81^n\geqq0.001 &~\cdots\cdots① \\[4pt]
0.9^n\geqq0.1 &~\cdots\cdots② \\[4pt]
0.64^n<=0.001 &~\cdots\cdots③ \end{cases} \end{align*}
\begin{align*} &\log_{10}0.81^n\geqq\log_{10}0.001 \\[4pt] &n\log_{10}0.81\geqq-3 \\[4pt] &n\log_{10}\dfrac{3^4}{10^2}\geqq\log_{10}10^{-3} \\[4pt] &(4\log_{10}3-2)n\geqq-3 \\[4pt] &(4\times0.4771-2)n\geqq-3 \\[4pt] &-0.0916n\geqq-3 \\[4pt] &n\leqq\dfrac{3}{0.0916}=32.7\cdots \end{align*}
$n$ は整数であるから，$n\leqq32$ ②より \begin{align*} &\log_{10}0.9^n\geqq\log_{10}0.1 \\[4pt] &n\log_{10}\dfrac{3^2}{10}\geqq-1 \\[4pt] &n(2\log_{10}3-1)\geqq-1 \\[4pt] &n(2\times0.4771-1)\geqq-1 \\[4pt] &-0.0458\geqq-1 \\[4pt] &n\leqq\dfrac{1}{0.0458}=21.8\cdots \end{align*}
$n$ は整数であるから，$n\leqq21$ ③より \begin{align*} &\log_{10}0.64^n<=\log_{10}0.001 \\[4pt] &n\log_{10}\dfrac{2^6}{10^{2}}<=-3 \\[4pt] &n(6\log_{10}2-2)<=-3 \\[4pt] &n(6\times0.3010-2)<=-3 \\[4pt] &-0.194n<=-3 \\[4pt] &n>\dfrac{3}{0.194}=15.4\cdots
\end{align*}
$n$ は整数であるから，$n\geqq16$\end{align*}
したがって，$16\leqq n\leqq21$ となるから，16枚から21枚の範囲でフィルターを重ねればよい。