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【数学ⅡB】放物線と円で囲まれた部分の面積【摂南大】

円と放物線で囲まれる部分の面積数学IAIIB

放物線と円で囲まれた部分の面積を求める方法を説明します。

円が関係する図形の面積を求める場合は,扇形と三角形の組み合わせを考えて計算することが重要です。

すべてを定積分で求めようとすると,無理関数の積分計算が必要となり,計算が大変になります。

また,そもそも無理関数の積分ができない場合は,式を立てても結局計算できないため,面積を求めることができなくなります。

そういう事態を防ぐためにも,図形の組み合わせ方を知って慣れることが重要でしょう。

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2020年 摂南大

2020年 摂南大$xy$ 平面上に,放物線 $C:y=\dfrac{x^2}{4}-3$ と原点Oを中心とする円 $C’$ があって,2曲線 $C,~C’$ は相異なる2点P,Qで接線を共有している。
(1) 円 $C’$ の半径は $\myhako\sqrt{\myhako}$ である。
(2) P,Qによって分けられる円 $C’$ の弧のうち,長さの短い方を $D$ とする。$C$ と $D$ が囲む部分の面積は $\dfrac{\myhako}{\myhako}-\myhako\;\pi$ である。
ヒロ
ヒロ

円と放物線の共有点の個数についての基礎知識は,次の記事から手に入れよう。

【(1)の解答と考え方】
$C’$ の方程式を $x^2+y^2=r^2~(r>0)$ とおく。$C:x^2=4y+12$ であるから,$C,~C’$ から $x$ を消去すると
\begin{align*}
&(4y+12)+y^2=r^2 \\[4pt]&y^2+4y+12-r^2=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
2曲線 $C,~C’$ が相異なる2点P,Qで接線を共有するのは,①が $y>-3$ をみたす重解をもつときである。①の判別式を $D$ とすると
\begin{align*}
\dfrac{D}{4}&=4-(12-r^2) \\[4pt]&=r^2-8
\end{align*}
$D=0$ のとき,$r=2\sqrt{2}$ であり,このとき,①の重解は $y=-2$ となり $y>-3$ をみたす。
よって,円 $C’$ の半径は $2\sqrt{2}$ である。
【参考図】
2020年 摂南大 円と放物線が接する

(2) P,Qによって分けられる円 $C’$ の弧のうち,長さの短い方を $D$ とする。$C$ と $D$ が囲む部分の面積は $\dfrac{\myhako}{\myhako}-\myhako\;\pi$ である。

【(2)の解答と考え方】
求める面積 $S$ は図の色を塗った部分の面積である。
2020年 摂南大 円と放物線で囲まれた部分の面積
三角形POQは直角二等辺三角形であることが分かるから,
\begin{align*}
\sankaku{POQ}=\dfrac{1}{2}\Cdota4\Cdota2=4
\end{align*}
となる。扇形POQの面積 $T_1$ は
\begin{align*}
T_1=\dfrac{1}{2}\Cdota2^2\Cdota\dfrac{\pi}{2}=\pi
\end{align*}
また,$y=-2$ と $D$ で囲まれた部分の面積 $T_2$ は6分の1公式を用いて
\begin{align*}
T_2=\dfrac{1}{6}\Cdota\dfrac{1}{4}\Cdota4^3=\dfrac{8}{3}
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
S&=T_1+\sankaku{POQ}-T_2 \\[4pt]&=\dfrac{8}{3}+4-\pi \\[4pt]&=\dfrac{20}{3}-\pi
\end{align*}
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