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【数学ⅡB】内分点と外分点の座標【京都産業大】

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内分点と外分点の座標数学IAIIB

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数直線上の線分の外分点

ヒロ
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次に外分点について理解しよう。

【外分点とは】
 例えば,数直線上の2点A(4),B(7)について,$\text{AP}:\text{PB}=2:5$ となる線分AB上の点Pを考える。点PはABを $2:5$ の比に分ける点で,ABの外側にあるから「ABを $2:5$ に外分する点」と呼ばれる。いま,APとBPの長さの比から,点Pは点Bより点Aに近い側にあるから,点Aの左側にある。
数直線上の2点A,Bを2:5に外分する点P
ABの長さに着目すると,比を表す数字を見て
\begin{align*}
\text{AB}=⑤-②=③
\end{align*}
となるから,$\text{AP}=\dfrac{2}{3}\text{AB}$ である。ここで,実際のABの長さは
\begin{align*}
\text{AB}=7-4=3
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
\text{AP}=\dfrac{2}{3}\Cdota3=2
\end{align*}
よって,点Pの座標は
\begin{align*}
(\text{P}の座標)&=(\text{A}の座標)-\text{AP} \\[4pt]
&=4-2=2
\end{align*}
ちなみに,もし $\text{AP}:\text{PB}=5:2$ となっていれば,点Pは点Bの右側にあることになる。
ヒロ
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内分点と同じように,外分点についても一般化しよう。

【ABを $m:n$ の比に外分する点P】数直線上の2点A$(a)$,B$(b)~(a<b)$ について,ABを $m:n~(0<m<n)$ の比に内分する点P$(p)$ を考える。 $\text{AP}:\text{AB}=m:(n-m)$ であるから,APの長さは
\begin{align*} \text{AP}=\dfrac{m}{n-m}\text{AB}=\dfrac{m}{n-m}(b-a) \end{align*}
となる。よって
\begin{align*} p&=(\text{A}の座標)-\text{AP} \\[4pt] &=a-\dfrac{m}{n-m}(b-a) \\[4pt] &=\dfrac{na-mb}{n-m} \end{align*}
次に,$m$ と $n$ の大小関係を入れ換えた $0<n<m$ のときを考えてみよう。 $\text{AB}:\text{BP}=(m-n):n$ であるから,APの長さは
\begin{align*} \text{BP}=\dfrac{n}{m-n}\text{AB}=\dfrac{n}{m-n}(b-a) \end{align*}
となる。よって
\begin{align*} p&=(\text{B}の座標)+\text{BP} \\[4pt] &=b+\dfrac{n}{m-n}(b-a) \\[4pt] &=\dfrac{-na+mb}{m-n} \end{align*}
$0<m<n$ のときと $0<n<m$ のときの式をよく見ると,どちらも同じ式であることが分かる。最初に求めた $p$ の分母分子に $-1$ を掛けると確認できる。
\begin{align*} p=\dfrac{na-mb}{n-m}\times\dfrac{-1}{-1}=\dfrac{-na+mb}{m-n} \end{align*}
ヒロ
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ということは,$m$ と $n$ の大小には関係なく,1つの式で外分点を求められるということである。

数直線上の線分の外分点数直線上の2点A$(a)$,B$(b)$ に対して,線分ABを $m:n$ に外分する点をPとすると,Pの座標は
\begin{align*} \dfrac{-na+mb}{m-n} \end{align*}
となる。ただし,$m>0,~n>0$ とする

負の比を利用することで外分を内分として計算する

ヒロ
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数直線上の線分の内分点と外分点について説明したが,毎回導出なんてしてられないから,公式として覚えることになるだろう。

ヒロ
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しかし,内分点と外分点で別々に公式を覚えるのは嫌という人は,外分点を内分点として処理する方法を知ると良いかもしれない。

【外分点を内分点として処理する方法】
 数直線上の2点A$(a)$,B$(b)$ に対して,線分ABを $m:n$ に外分する点Pの座標の見方を少し変えよう。
\begin{align*}
\dfrac{-na+mb}{m-n}=\dfrac{(-n)a+mb}{m+(-n)}
\end{align*}
と見ると,内分点の式において,$n$ を $-n$ にしたものであることが分かる。また,
\begin{align*}
\dfrac{na-mb}{n-m}=\dfrac{na+(-m)b}{n+(-m)}
\end{align*}
と見ることもできるため,内分点の式において,$m$ を $-m$ にしたものであると考えることもできる。
 つまり,「ABを $m:n$ に外分する」は「ABを $m:(-n)$ に内分する」や「ABを $(-m):n$ に内分する」と言い換えることができる。$m$ と $n$ のどちらにマイナスを付けるかについては,分母が正になるようにするのが良い。つまり 「$m:n$ に外分する」を見たときに,$m$ の方が大きければ「$m:(-n)$ に内分する」と読み替えれば良いし,逆に $n$ の方が大きければ「$(-m):n$ に内分する」と読み替えれば良い。
ヒロ
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ということで,この考え方を利用することで楽になることを願う。

外分点を内分点と見る「$m:n$ に外分する」は「$m:(-n)$ に内分する」か「$(-m):n$ に内分する」に読み替えることができる。

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