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瞬間部分積分を利用できる入試問題【2018年 明治大】
ヒロ
部分積分に関する入試問題で，答えだけを書けば良い場合には，瞬間部分積分はかなり有効だよ。
ヒロ
2018年の明治大の入試問題で練習しておこう。
2018年 明治大次の空欄に当てはまる0から9までの数字を入れよ。
\begin{align*}
\dint{-1}{2}\abs{(x^2-1)e^{-x}}\;dx=\dfrac{\myBox{ア}\,e-\myBox{イ}}{e^{\,\myBox{ウ}}}
\end{align*}
\dint{-1}{2}\abs{(x^2-1)e^{-x}}\;dx=\dfrac{\myBox{ア}\,e-\myBox{イ}}{e^{\,\myBox{ウ}}}
\end{align*}
やってみます。
$(x^2-1)e^{-x}\geqq0$ とすると，
\begin{align*}
&x^2-1\geqq0 \\[4pt]
&x\leqq-1,~1\leqq x
\end{align*}
よって，&x^2-1\geqq0 \\[4pt]
&x\leqq-1,~1\leqq x
\end{align*}
\begin{align*}
&\dint{-1}{2}\abs{(x^2-1)e^{-x}}\;dx \\[4pt]
&=\dint{-1}{1}(1-x^2)e^{-x}\;dx+\dint{1}{2}(x^2-1)e^{-x}\;dx
\end{align*}
ここで&\dint{-1}{2}\abs{(x^2-1)e^{-x}}\;dx \\[4pt]
&=\dint{-1}{1}(1-x^2)e^{-x}\;dx+\dint{1}{2}(x^2-1)e^{-x}\;dx
\end{align*}
\begin{align*}
&\dint{}{}\ (x^2-1)e^{-x}\;dx \\[4pt]
&=-\{(x^2-1)+2x+2\}e^{-x}+C \\[4pt]
&=-(x+1)^2e^{-x}+C
\end{align*}
であるから&\dint{}{}\ (x^2-1)e^{-x}\;dx \\[4pt]
&=-\{(x^2-1)+2x+2\}e^{-x}+C \\[4pt]
&=-(x+1)^2e^{-x}+C
\end{align*}
\begin{align*}
（与式）&=\tint{(x+1)^2e^{-x}}{-1}{1}+\tint{-(x+1)^2e^{-x}}{1}{2} \\[4pt]
&=4e^{-1}-9e^{-2}+4e^{-1} \\[4pt]
&=\dfrac{8e-9}{e^2}
\end{align*}
よって，$\myBox{ア}=8,~\myBox{イ}=9,~\myBox{ウ}=2$（与式）&=\tint{(x+1)^2e^{-x}}{-1}{1}+\tint{-(x+1)^2e^{-x}}{1}{2} \\[4pt]
&=4e^{-1}-9e^{-2}+4e^{-1} \\[4pt]
&=\dfrac{8e-9}{e^2}
\end{align*}
簡単ですね！
部分積分と瞬間部分積分のまとめ
ヒロ
最初に説明したように，まずは通常通りに部分積分ができるようにしよう。その上で，限られた形に対しては「瞬間部分積分」と呼ばれる積分法を利用するようにしよう。
ヒロ
また，瞬間部分積分を使うなら，正しく使おう！
はい！わかりました。
ヒロ
瞬間部分積分の練習するときは，積分した後に毎回微分して確認すると良いよ。微分と積分の両方の練習になる！
ヒロ
瞬間部分積分が載っている参考書や問題集は少ないため，受験生が瞬間部分積分を目にする機会は少ないだろう。数学大学入試問題解答集私立大編（2019） [ 安田亨 ] の兵庫医科大学の解説に瞬間部分積分が使われている。
![数学大学入試問題解答集私立大編（2019） [ 安田亨 ]](https://thumbnail.image.rakuten.co.jp/@0_mall/book/cabinet/0286/9784434250286.jpg?_ex=128x128)
