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瞬間部分積分の公式
ヒロ
間違えずに積分する計算力は重要だけど，簡単に積分する方法も覚えておこう。
えっ？簡単な方法があるんですか？
なんでそれを先に教えてくれないんですか？
ヒロ
普通の方法もできずに，より高度な方法を習得しようとするのはおかしくない？
それもそうですね。
それって大分楽になりますか？
ヒロ
どう感じるかは個人差はあるけど，少なくとも僕にとっては劇的に楽になったと思う。
ヒロ
ということで部分積分が楽になる「瞬間部分積分」と呼ばれる方法を紹介するよ。
瞬間部分積分
\begin{align*}
\dint{}{}fg\;dx=fg_1-f’g_2+f^{\prime\prime}g_3-f^{\prime\prime\prime}g_4+\cdots
\end{align*}
ここで，$f$ は微分側で $g$ が積分側である。また，$g$ を積分するごとに $g_1,g_2,g_3$ と添字を増やしている。\dint{}{}fg\;dx=fg_1-f’g_2+f^{\prime\prime}g_3-f^{\prime\prime\prime}g_4+\cdots
\end{align*}
ヒロ
部分積分の仕組みを考えれば，理解はできると思う。
ヒロ
ただ，このままだとよく分からないと思うから，具体例を書いておくよ。
瞬間部分積分の公式
$f(x)$が整式であるとき，以下の形のものは，簡単に不定積分を求めることができる。
ヒロ
1番目と2番目の公式については，$\sin x$ や $\cos x$ は積分して符号を変えるのは微分するのと同じだから，最初だけ積分で，あとは両方微分すれば良いってことだよ。ただ，実際には積分して符号を変えるわけだから，$\sin x$ ではなく $\sin mx$ となっている場合は，順次 $m$ で割っていくことになる点に注意しよう。
ヒロ
5～8の4つが難しいと感じる人は，よく出てくる最初の1～4の4つだけに絞って，使えるようにすると良いよ。
ヒロ
(1)と(2)だけちょっと練習してみて？
はい！
【(1)を瞬間部分積分で楽に積分】
【(2)を瞬間部分積分で楽に積分】
\begin{align*}
(x^3)’=3x^2,~(3x^2)’=6x,~(6x)’=6
\end{align*}
であるから，(x^3)’=3x^2,~(3x^2)’=6x,~(6x)’=6
\end{align*}
\begin{align*}
\dint{}{}\ x^3e^x\;dx
&=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C
\end{align*}
\dint{}{}\ x^3e^x\;dx
&=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C
\end{align*}
【(2)を瞬間部分積分で楽に積分】
\begin{align*}
(x^2-2x)’=2x-2,~(2x-2)’=2
\end{align*}
であるから，(x^2-2x)’=2x-2,~(2x-2)’=2
\end{align*}
\begin{align*}
\dint{}{}\ (x^2-2x)e^{-x}\;dx
&=-\{(x^2-2x)+(2x-2)+2\}e^{-x}+C \\[4pt]
&=-x^2e^{-x}+C
\end{align*}
\dint{}{}\ (x^2-2x)e^{-x}\;dx
&=-\{(x^2-2x)+(2x-2)+2\}e^{-x}+C \\[4pt]
&=-x^2e^{-x}+C
\end{align*}
これは楽ですね！