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面倒な部分積分を「瞬間部分積分」で簡単に求めよう!

瞬間部分積分数学III

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瞬間部分積分の公式

ヒロ
ヒロ

間違えずに積分する計算力は重要だけど,簡単に積分する方法も覚えておこう。

えっ?簡単な方法があるんですか?

なんでそれを先に教えてくれないんですか?

ヒロ
ヒロ

普通の方法もできずに,より高度な方法を習得しようとするのはおかしくない?

それもそうですね。

それって大分楽になりますか?

ヒロ
ヒロ

どう感じるかは個人差はあるけど,少なくとも僕にとっては劇的に楽になったと思う。

ヒロ
ヒロ

ということで部分積分が楽になる「瞬間部分積分」と呼ばれる方法を紹介するよ。

瞬間部分積分
\begin{align*}
\dint{}{}fg\;dx=fg_1-f’g_2+f^{\prime\prime}g_3-f^{\prime\prime\prime}g_4+\cdots
\end{align*}
ここで,$f$ は微分側で $g$ が積分側である。また,$g$ を積分するごとに $g_1,g_2,g_3$ と添字を増やしている。
ヒロ
ヒロ

部分積分の仕組みを考えれば,理解はできると思う。

ヒロ
ヒロ

ただ,このままだとよく分からないと思うから,具体例を書いておくよ。

瞬間部分積分の公式
$f(x)$が整式であるとき,以下の形のものは,簡単に不定積分を求めることができる。
  1. $\displaystyle
    \dint{}{}f(x)\cos x\;dx=f(x)\sin x+f'(x)\cos x+f^{\prime\prime}(x)\cdot(-\sin x)+f^{\prime\prime\prime}(x)\cdot(-\cos x)+\cdots+C
    $
  2. $\displaystyle
    \dint{}{}f(x)\sin x\;dx=f(x)(-\cos x)+f'(x)\sin x+f^{\prime\prime}(x)\cdot\cos x+f^{\prime\prime\prime}(x)\cdot(-\sin x)+\cdots+C
    $
  3. $\displaystyle
    \dint{}{}f(x)e^x\,dx=\left\{f(x)-f'(x)+f^{\prime\prime}(x)-f^{\prime\prime\prime}(x)
    +\cdots\right\}e^x+C
    $
  4. $\displaystyle
    \dint{}{}f(x)e^{-x}\,dx=-\left\{f(x)+f'(x)+f^{\prime\prime}(x)+f^{\prime\prime\prime}(x)
    +\cdots\right\}e^{-x}+C
    $
  5. $\displaystyle
    \dint{}{}f(x)\sin mx\,dx
    =\dfrac{f(x)}{m}\cdot(-\cos mx)+\dfrac{f'(x)}{m^2}\sin mx
    +\dfrac{f^{\prime\prime}(x)}{m^3}\cos mx+\cdots+C
    $
  6. $\displaystyle
    \dint{}{}f(x)\cos mx\,dx
    =\dfrac{f(x)}{m}\sin mx+\dfrac{f'(x)}{m^2}\cos mx
    +\dfrac{f^{\prime\prime}(x)}{m^3}\cdot(-\sin mx)+\cdots+C
    $
  7. $\displaystyle
    \dint{}{}f(x)e^{mx}\,dx=\left\{\dfrac{f(x)}{m}-\dfrac{f'(x)}{m^2}
    +\dfrac{f^{\prime\prime}(x)}{m^3}-
    \cdots\right\}e^{mx}+C
    $
  8. $\displaystyle
    \dint{}{}x^{m-1}\left(\log x\right)^n\,dx
    =\left\{\dfrac{\left(\log x\right)^n}{m}-\dfrac{n\left(\log x\right)^{n-1}}{m^2}
    +\cdots+(-1)^n\dfrac{n!}{m^{n+1}}\right\}x^m+C
    $
ヒロ
ヒロ

1番目と2番目の公式については,$\sin x$ や $\cos x$ は積分して符号を変えるのは微分するのと同じだから,最初だけ積分で,あとは両方微分すれば良いってことだよ。ただ,実際には積分して符号を変えるわけだから,$\sin x$ ではなく $\sin mx$ となっている場合は,順次 $m$ で割っていくことになる点に注意しよう。

ヒロ
ヒロ

5~8の4つが難しいと感じる人は,よく出てくる最初の1~4の4つだけに絞って,使えるようにすると良いよ。

ヒロ
ヒロ

(1)と(2)だけちょっと練習してみて?

はい!

【(1)を瞬間部分積分で楽に積分】
\begin{align*}
(x^3)’=3x^2,~(3x^2)’=6x,~(6x)’=6
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
\dint{}{}\ x^3e^x\;dx
&=(x^3-3x^2+6x-6)e^x+C
\end{align*}

【(2)を瞬間部分積分で楽に積分】
\begin{align*}
(x^2-2x)’=2x-2,~(2x-2)’=2
\end{align*}
であるから,
\begin{align*}
\dint{}{}\ (x^2-2x)e^{-x}\;dx
&=-\{(x^2-2x)+(2x-2)+2\}e^{-x}+C \\[4pt]&=-x^2e^{-x}+C
\end{align*}

これは楽ですね!

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