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定積分を含む不等式の証明問題2【2014年 京都工芸繊維大】
2014年 京都工芸繊維大次の問いに答えよ。
(1) $x>0$ のとき，不等式 $2-x<(2+x)e^{-x}$ が成り立つことを証明せよ。
(2) 定積分 $\dint{0}{\frac12}(2-x)\;dx$ および $\dint{0}{\frac12}(2+x)e^{-x}\;dx$ の値を求めよ。
(3) (1)と(2)を用いて，不等式 $\dfrac{3}{5}<e^{-\frac12}<\dfrac{17}{28}$ が成り立つことを証明せよ。
(1) $x>0$ のとき，不等式 $2-x<(2+x)e^{-x}$ が成り立つことを証明せよ。
(2) 定積分 $\dint{0}{\frac12}(2-x)\;dx$ および $\dint{0}{\frac12}(2+x)e^{-x}\;dx$ の値を求めよ。
(3) (1)と(2)を用いて，不等式 $\dfrac{3}{5}<e^{-\frac12}<\dfrac{17}{28}$ が成り立つことを証明せよ。
ヒロ
(1)は問題1と同じように考えよう。
【(1)の解答】
$f(x)=(2+x)e^{-x}-(2-x)$ とおくと
よって，$x>0$ において，$f'(x)>f'(0)=0$ となる。したがって，$x>0$ において，$f(x)$ も単調に増加する。
したがって，$x>0$ において $f(x)>f(0)=0$ となるから
$f(x)=(2+x)e^{-x}-(2-x)$ とおくと
\begin{align*}
f'(x)&=e^{-x}-(2+x)e^{-x}+1 \\[4pt]
&=-(x+1)e^{-x}+1 \\[4pt]
f^{\prime\prime}(x)&=-e^{-x}+(x+1)e^{-x} \\[4pt]
&=xe^{-x}
\end{align*}
$x>0$ のとき，$f^{\prime\prime}(x)>0$ であるから，$x>0$ において $f'(x)$ は単調に増加する。f'(x)&=e^{-x}-(2+x)e^{-x}+1 \\[4pt]
&=-(x+1)e^{-x}+1 \\[4pt]
f^{\prime\prime}(x)&=-e^{-x}+(x+1)e^{-x} \\[4pt]
&=xe^{-x}
\end{align*}
よって，$x>0$ において，$f'(x)>f'(0)=0$ となる。したがって，$x>0$ において，$f(x)$ も単調に増加する。
したがって，$x>0$ において $f(x)>f(0)=0$ となるから
\begin{align*}
2-x<(2+x)e^{-x}
\end{align*}
が成り立つ。2-x<(2+x)e^{-x}
\end{align*}
ヒロ
$f'(x)$ だけで増減が分からない場合は，$f^{\prime\prime}(x)$ を考えよう。
ヒロ
(2)は正確に計算しよう。
【(2)の解答】
\begin{align*}
\dint{0}{\frac12}(2-x)\;dx&=\Tint{2x-\dfrac{1}{2}x^2}{0}{\frac12} \\[4pt]
&=1-\dfrac{1}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{8} \\[4pt]
\dint{0}{\frac12}(2+x)e^{-x}\;dx&=\tint{-(3+x)e^{-x}}{0}{\frac12} \\[4pt]
&=-\dfrac{7}{2}e^{-\frac12}+3
\end{align*}
\dint{0}{\frac12}(2-x)\;dx&=\Tint{2x-\dfrac{1}{2}x^2}{0}{\frac12} \\[4pt]
&=1-\dfrac{1}{8} \\[4pt]
&=\dfrac{7}{8} \\[4pt]
\dint{0}{\frac12}(2+x)e^{-x}\;dx&=\tint{-(3+x)e^{-x}}{0}{\frac12} \\[4pt]
&=-\dfrac{7}{2}e^{-\frac12}+3
\end{align*}
ヒロ
2つ目の積分は「瞬間部分積分法」で暗算で求めている。知らない人はマスターしておこう。
ヒロ
(3)は誘導通り，(1)と(2)の結果を利用する方法を考えよう。
ヒロ
(1)の結果の式の $x$ にどんな値を代入したら，$e^{-\frac12}$ が現れるかを考えよう。
【(3)の解答】
(1)の結果より，$2-x<(2+x)e^{-x}~\cdots\cdots①$ が成り立つから，$x=\dfrac{1}{2}$ を代入すると
(1)の結果より，$2-x<(2+x)e^{-x}~\cdots\cdots①$ が成り立つから，$x=\dfrac{1}{2}$ を代入すると
\begin{align*}
&2-\dfrac{1}{2}<\left(2+\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac12} \\[4pt]
&\dfrac{3}{2}<\dfrac{5}{2}e^{-\frac12} \\[4pt]
&\dfrac{3}{5}<e^{-\frac12}~\cdots\cdots②
\end{align*}
また，①の両辺を0から $\dfrac{1}{2}$ まで積分すると&2-\dfrac{1}{2}<\left(2+\dfrac{1}{2}\right)e^{-\frac12} \\[4pt]
&\dfrac{3}{2}<\dfrac{5}{2}e^{-\frac12} \\[4pt]
&\dfrac{3}{5}<e^{-\frac12}~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
\dint{0}{\frac12}(2-x)\;dx<\dint{0}{\frac12}(2+x)e^{-x}\;dx
\end{align*}
が成り立つ。さらに(2)の結果より\dint{0}{\frac12}(2-x)\;dx<\dint{0}{\frac12}(2+x)e^{-x}\;dx
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{7}{8}<-\dfrac{7}{2}e^{-\frac12}+3 \\[4pt]
&\dfrac{7}{2}e^{-\frac12}<\dfrac{17}{8} \\[4pt]
&e^{-\frac12}<\dfrac{17}{28}~\cdots\cdots③
\end{align*}
②，③より&\dfrac{7}{8}<-\dfrac{7}{2}e^{-\frac12}+3 \\[4pt]
&\dfrac{7}{2}e^{-\frac12}<\dfrac{17}{8} \\[4pt]
&e^{-\frac12}<\dfrac{17}{28}~\cdots\cdots③
\end{align*}
\begin{align*}
\dfrac{3}{5}<e^{-\frac12}<\dfrac{17}{28}
\end{align*}
\dfrac{3}{5}<e^{-\frac12}<\dfrac{17}{28}
\end{align*}