定積分と不等式の証明の入試問題【広島大・京都工芸繊維大】

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定積分を含む不等式の証明問題4

問題4次の不等式を証明せよ。

\begin{align*}
\dfrac{\pi}{6}<\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+1}{2+\cos x}\;dx<\dfrac{\pi^2+4\pi}{16}
\end{align*}

ヒロ

この問題では $\dfrac{\pi}{2}$ を意識しよう。

最左辺の $\dfrac{\pi}{6}$ は

\begin{align*}
\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{1}{3}\Cdota\dfrac{\pi}{2}
\end{align*}

と表すことができる。中央の式の形から，

\begin{align*}
\dfrac{\pi}{6}&=\Tint{\dfrac{1}{3}x}{0}{\frac{\pi}{2}} \\[4pt]
&=\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{3}\;dx
\end{align*}

となれば都合が良い。
これを実現するためには，分母の $2+\cos x$ を3にして，分子の $x+1$ を1にすればよく，実際，分母を大きくして分子を小さくしていて，全体が小さくなるから不等式の証明ができる見通しが立つ。

ヒロ

次は最右辺を考えよう。

最右辺の $\dfrac{\pi^2+4\pi}{16}$ は

\begin{align*}
\dfrac{\pi^2+4\pi}{16}&=\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{\pi}{2}\right)^2+\dfrac{1}{2}\Cdota\dfrac{\pi}{2} \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x}{0}{\frac{\pi}{2}} \\[4pt]
&=\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+1}{2}\;dx
\end{align*}

となれば都合が良い。
これを実現するためには，分母の $2+\cos x$ を2にすればよく，実際，分母を小さくしているから，全体としては大きくなるから，この時点で，上の考えと合わせて「解けた」という感覚になる。

ヒロ

あとは答案になるように仕上げるだけ。

【証明】
$0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}$ において $0\leqq\cos x\leqq1$ であるから

\begin{align*}
\dfrac{1}{3}\leqq\dfrac{x+1}{2+\cos x}\leqq\dfrac{x+1}{2}
\end{align*}

が成り立つ。よって

\begin{align*}
\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{3}\;dx<\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+1}{2+\cos x}\;dx<\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+1}{2}\;dx
\end{align*}

が成り立つ。ここで

\begin{align*}
\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{1}{3}\;dx&=\Tint{\dfrac{1}{3}x}{0}{\frac{\pi}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\pi}{6} \\[4pt]
\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+1}{2}\;dx&=\Tint{\dfrac{1}{4}x^2+\dfrac{1}{2}x}{0}{\frac{\pi}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{\pi^2+4\pi}{16}
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
\dfrac{\pi}{6}<\dint{0}{\frac{\pi}{2}}\dfrac{x+1}{2+\cos x}\;dx<\dfrac{\pi^2+4\pi}{16}
\end{align*}

が成り立つ。