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定積分と不等式の証明の入試問題【広島大・京都工芸繊維大】

定積分を含む不等式の証明数学III
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定積分を含む不等式の証明問題3

問題3次の不等式を証明せよ。
\begin{align*}
\dint{0}{1}e^x\sin x\;dx<e-1
\end{align*}
不等式の証明における定積分定積分を含む不等式の証明では,両辺が同じ積分区間になる定積分を考える。
$\dint{a}{b}f(x)\;dx\leqq k$ を証明するためには,$k=\dint{a}{b}g(x)\;dx$ となる $g(x)$ を見つけよう。$g(x)$ を見つけることができれば,証明するべき不等式は
\begin{align*}
\dint{a}{b}f(x)\;dx\leqq\dint{a}{b}g(x)\;dx
\end{align*}
と変形できる。つまり,$a\leqq x\leqq b$ において $f(x)\leqq g(x)$ であることを証明することで,元の不等式が成り立つことを証明できる。
ヒロ
ヒロ

今回の問題では,$\dint{0}{1}f(x)\;dx=e-1$ となる関数 $f(x)$ を見つけることを考える。左辺に $e^x$ と $\sin x$ があることも考えないといけない。

ヒロ
ヒロ

$e-1$ を見て,すぐに $e-1=\dint{0}{1}e^x\;dx$ と思った人は,証明のほとんどが終わったことになる。

ヒロ
ヒロ

すぐに気付かなかった人は,既に分かっている不等式から変形していこう。

【証明】
$\sin x\leqq1$ であるから,両辺に $e^x~(>0)$ をかけると
\begin{align*}
e^x\sin x\leqq e^x
\end{align*}
となる。常には等号は成り立たないから
\begin{align*}
&\dint{0}{1}e^x\sin x\;dx<\dint{0}{1}e^x\;dx
\end{align*}
が成り立つ。ここで
\begin{align*}
\dint{0}{1}e^x\;dx&=\tint{e^x}{0}{1} \\[4pt]
&=e-1
\end{align*}
であるから
\begin{align*}
\dint{0}{1}e^x\sin x\;dx<e-1
\end{align*}
が成り立つ。

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