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余りの条件から整数を求める問題2
2019年 関西医科大53で割ると5余り，61で割ると6余る最小の自然数を求めよ。
【考え方と解答】
求める自然数を $n$ とすると，整数 $x,~y$ を用いて $n$ は
$①-②$ より
求める自然数を $n$ とすると，整数 $x,~y$ を用いて $n$ は
\begin{align*}
n=53x+5=61y+6
\end{align*}
と表せる。これよりn=53x+5=61y+6
\end{align*}
\begin{align*}
53x-61y=1~\cdots\cdots①
\end{align*}
となる。ユークリッドの互除法を利用する。53x-61y=1~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&61=53\times1+8 \\[4pt]&53=8\times6+5 \\[4pt]&8=5\times1+3 \\[4pt]&5=3\times1+2 \\[4pt]&3=2\times1+1
\end{align*}
この計算より&61=53\times1+8 \\[4pt]&53=8\times6+5 \\[4pt]&8=5\times1+3 \\[4pt]&5=3\times1+2 \\[4pt]&3=2\times1+1
\end{align*}
\begin{align*}
1&=3-2 \\[4pt]&=3-(5-3)=3\times2-5 \\[4pt]&=(8-5)\times2-5 \\[4pt]&=8\times2-5\times3 \\[4pt]&=8\times2-(53-8\times6)\times3 \\[4pt]&=8\times20-53\times3 \\[4pt]&=(61-53)\times20-53\times3 \\[4pt]&=61\times20-53\times23
\end{align*}
よって $53\Cdot(-23)-61\Cdot(-20)=1~\cdots\cdots②$1&=3-2 \\[4pt]&=3-(5-3)=3\times2-5 \\[4pt]&=(8-5)\times2-5 \\[4pt]&=8\times2-5\times3 \\[4pt]&=8\times2-(53-8\times6)\times3 \\[4pt]&=8\times20-53\times3 \\[4pt]&=(61-53)\times20-53\times3 \\[4pt]&=61\times20-53\times23
\end{align*}
$①-②$ より
\begin{align*}
53(x+23)-61(y+20)=0
\end{align*}
53と61は互いに素であるから，整数 $k$ を用いて53(x+23)-61(y+20)=0
\end{align*}
\begin{align*}
&x+23=61k \\[4pt]&x=61k-23
\end{align*}
と表せる。このとき&x+23=61k \\[4pt]&x=61k-23
\end{align*}
\begin{align*}
n&=53x+5 \\[4pt]&=53(61k-23)+5 \\[4pt]&=3233k-1214
\end{align*}
$n$ が最小の自然数になるのは $k=1$ のときで，そのときn&=53x+5 \\[4pt]&=53(61k-23)+5 \\[4pt]&=3233k-1214
\end{align*}
\begin{align*}
n=3233-1214=2019
\end{align*}
n=3233-1214=2019
\end{align*}
ヒロ
ユークリッドの互除法を利用しない解法でも解いておこう。
【別の考え方と解答】
求める自然数を $n$ として，整数 $x,~y$ を用いて $n$ が
求める自然数を $n$ として，整数 $x,~y$ を用いて $n$ が
\begin{align*}
n=53x+5=61y+6~\cdots\cdots①
\end{align*}
と表せるところまでは同じだ。ここからn=53x+5=61y+6~\cdots\cdots①
\end{align*}
\begin{align*}
&53x+5=61y+6 \\[4pt]&x=\dfrac{61y+1}{53} \\[4pt]&=y+\dfrac{8y+1}{53}~\cdots\cdots②
\end{align*}
$x,~y$ は整数であるから，$\dfrac{8y+1}{53}$ は整数である。$\dfrac{8y+1}{53}=m$ とおくと&53x+5=61y+6 \\[4pt]&x=\dfrac{61y+1}{53} \\[4pt]&=y+\dfrac{8y+1}{53}~\cdots\cdots②
\end{align*}
\begin{align*}
&8y+1=53m \\[4pt]&y=\dfrac{53m-1}{8} \\[4pt]&=7m-\dfrac{3m+1}{8}~\cdots\cdots③
\end{align*}
$y,~m$ は整数であるから，$\dfrac{3m+1}{8}$ は整数であり，$\dfrac{3m+1}{8}=l$ とおくと&8y+1=53m \\[4pt]&y=\dfrac{53m-1}{8} \\[4pt]&=7m-\dfrac{3m+1}{8}~\cdots\cdots③
\end{align*}
\begin{align*}
&3m+1=8l \\[4pt]&m=\dfrac{8l-1}{3} \\[4pt]&=3l-\dfrac{l+1}{3}~\cdots\cdots④
\end{align*}
$m,~l$ は整数であるから，$\dfrac{l+1}{3}$ は整数であり，$\dfrac{l+1}{3}=k$ とおくと&3m+1=8l \\[4pt]&m=\dfrac{8l-1}{3} \\[4pt]&=3l-\dfrac{l+1}{3}~\cdots\cdots④
\end{align*}
\begin{align*}
&l+1=3k \\[4pt]&l=3k-1
\end{align*}
これを④に代入すると，&l+1=3k \\[4pt]&l=3k-1
\end{align*}
\begin{align*}
m&=3l-k \\[4pt]&=3(3k-1)-k \\[4pt]&=8k-3
\end{align*}
となる。これを③に代入してm&=3l-k \\[4pt]&=3(3k-1)-k \\[4pt]&=8k-3
\end{align*}
\begin{align*}
y&=7m-l \\[4pt]&=7(8k-3)-(3k-1) \\[4pt]&=53k-20
\end{align*}
①に代入するとy&=7m-l \\[4pt]&=7(8k-3)-(3k-1) \\[4pt]&=53k-20
\end{align*}
\begin{align*}
n&=61y+6 \\[4pt]&=61(53k-20)+6 \\[4pt]&=3233k-1214
\end{align*}
$n$ が最小の自然数になるのは $k=1$ のときで，そのとき $n=3233-1214=2019$n&=61y+6 \\[4pt]&=61(53k-20)+6 \\[4pt]&=3233k-1214
\end{align*}
余りの条件から整数を求める問題3
2019年 慶應義塾大11で割ると6余り，6で割ると3余るような自然数を小さい方から $a_0$, $a_1$, $a_2$, $\cdots,~a_k,~\cdots$ と表す。$a_{30}=\myhako$ である。
【考え方と解答】
11で割ると6余る自然数は0以上の整数 $m$ を用いて $11m+6$ と表せる。また，6で割ると3余るような自然数は0以上の整数 $n$ を用いて $6n+3$ と表せる。
したがって
11で割ると6余る自然数は0以上の整数 $m$ を用いて $11m+6$ と表せる。また，6で割ると3余るような自然数は0以上の整数 $n$ を用いて $6n+3$ と表せる。
\begin{align*}
&11m+6=6n+3 \\[4pt]&6n=11m+3 \\[4pt]&n=\dfrac{11m+3}{6} \\[4pt]&=2m-\dfrac{m-3}{6}
\end{align*}
$m,~n$ は整数であるから，$\dfrac{m-3}{6}$ は整数であり，$\dfrac{m-3}{6}=l$ とおくと&11m+6=6n+3 \\[4pt]&6n=11m+3 \\[4pt]&n=\dfrac{11m+3}{6} \\[4pt]&=2m-\dfrac{m-3}{6}
\end{align*}
\begin{align*}
&m-3=6l \\[4pt]&m=6l+3
\end{align*}
よって&m-3=6l \\[4pt]&m=6l+3
\end{align*}
\begin{align*}
n&=2m-l \\[4pt]&=2(6l+3)-l \\[4pt]&=11l+6
\end{align*}
となるからn&=2m-l \\[4pt]&=2(6l+3)-l \\[4pt]&=11l+6
\end{align*}
\begin{align*}
16n+3&=6(11l+6)+3 \\[4pt]&=66l+39
\end{align*}
この数が自然数となるのは $l$ が0以上の整数であるときだから，$a_k=66k+39$16n+3&=6(11l+6)+3 \\[4pt]&=66l+39
\end{align*}
したがって
\begin{align*}
a_{30}&=66\Cdota30+39 \\[4pt]&=2019
\end{align*}
a_{30}&=66\Cdota30+39 \\[4pt]&=2019
\end{align*}