【数学ⅡB】領域と最大・最小【日本大・学習院大】

　$x+3y$ は $x$ と $y$ の値が変化すると値が変わる式であり，2つの文字を同時に色々な値に変えて，その式の最大値や最小値を求めるなんてことはかなり難しいし面倒なことである。
　例えば，$(x,~y)=(1,~2)$ のとき，$x+3y=7$ となるが，値を変えて $(x,~y)=(4,~1)$ のときを調べても $x+3y=7$ となり，$x,~y$ の値を変えているのに $x+3y$ の値が変わらないこともある。
　$(x,~y)$ の組を基準に $x+3y$ の値の変化を考えるのではなく，$x+3y$ の値を決めて，その値に対応する $(x,~y)$ の組を考える。
　例えば $x+3y=7$ となる $(x,~y)$ の値の組を考えてみる。具体的な値の組を考えようとしたときに，$x+3y=7$ のグラフを考える人が多いだろう。その時点で，$x+3y=7$ は直線を表すことに気付き，直線上の点であれば，常に $x+3y$ の値が7になることが分かる。

　直線 $x+3y=7$ が図形 $D$ と共有点をもっていれば，そのすべての共有点 $(x,~y)$ に対して $x+3y=7$ が成り立つ。逆に直線 $x+3y=7$ が図形 $D$ と共有点をもっていなければ，$x+3y=7$ となる $(x,~y)$ は存在しないことになる。
　したがって，$x+3y=k$ とおいて，直線 $x+3y=k$ が図形 $D$ と共有点をもつような最大の $k$ と最小の $k$ を探すことで $x+3y$ の最大値と最小値を求めることができる。$x+3y=k$ を変形すると $y=-\dfrac{1}{3}x+\dfrac{k}{3}$ となるから，傾き $-\dfrac{1}{3}$ で切片 $\dfrac{k}{3}$ の直線である。この直線は傾きが $-\dfrac{1}{3}$ で一定であるから，$k$ の値を変化させると，上下に平行移動する。

切片が $\dfrac{k}{3}$ であることから，切片が最大となるときに $k$ が最大，すなわち，$x+3y$ が最大となる。また，切片が最小となるときに $x+3y$ が最小となることが分かる。