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【数学ⅡB】偶関数と奇関数の定積分【立教大・学習院大】

偶関数と奇関数の定積分数学IAIIB

偶関数と奇関数の定積分の計算について解説します。

被積分関数が偶関数や奇関数のときは,工夫することで計算量を減らすことができます。

「工夫することが面倒だ」という人がいますが,工夫して計算量を減らすことが,結果として計算間違いを減らすことや計算時間を短くすることにつながります。

つまり,今まで勉強時間が変わらなくても,より多くの問題を解くことができることにつながり,勉強効率を高めることができます。工夫して計算量を減らすことができるようにしましょう。

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偶関数と奇関数

ヒロ
ヒロ

偶関数と奇関数の定義については,次の三角関数の記事で説明しているので参考にして欲しい。

ヒロ
ヒロ

$y=x^n$ という形の場合,$n$ が偶数なら偶関数となり,$n$ が奇数なら奇関数となる。

偶関数と奇関数の定積分

ヒロ
ヒロ

積分区間が0に関して対称な定積分では,次のことを知っておくと計算量が減って計算を速くすることができる。

偶関数と奇関数の定積分$n$ は0以上の整数とする。
\begin{align*}
&\dint{-a}{a}x^{2n}\;dx=2\dint{0}{a}x^{2n}\;dx \\[4pt]
&\dint{-a}{a}x^{2n-1}\;dx=0
\end{align*}
ヒロ
ヒロ

このことは実際に積分計算をすることで理解できるだろう。

$n$ が0以上の整数のとき
\begin{align*}
\dint{-a}{a}x^{2n}\;dx&=\Tint{\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}}{-a}{a} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2n+1}(a^{2n+1}-(-a)^{2n+1}) \\[4pt]
&=\dfrac{a^{2n+1}+a^{2n+1}}{2n+1} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{2n+1}a^{2n+1}
\end{align*}
また
\begin{align*}
\dint{0}{a}x^{2n}\;dx&=\Tint{\dfrac{1}{2n+1}x^{2n+1}}{0}{a} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2n+1}a^{2n+1}
\end{align*}
となるから,
\begin{align*}
\dint{-a}{a}x^{2n}\;dx=2\dint{0}{a}x^{2n}\;dx
\end{align*}
が成り立つ。
\begin{align*}
\dint{-a}{a}x^{2n-1}\;dx&=\Tint{\dfrac{1}{2n}x^{2n}}{-a}{a} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{2n}(a^{2n}-(-a)^{2n}) \\[4pt]
&=\dfrac{a^{2n}-a^{2n}}{2n}=0
\end{align*}
となり,$\dint{-a}{a}x^{2n-1}\;dx=0$ も成り立つ。
ヒロ
ヒロ

この性質を利用できるときは利用して,計算量を減らすようにしよう。

2018年 立教大

2018年 立教大関数 $f(x)=x^2+ax+b$ が
\begin{align*}
f(1)=1,~\dint{-1}{1}f(x)\;dx=0
\end{align*}
を満たすとき,$a=\myhako,~b=\myhako$ である。
【解答と考え方】
$f(1)=1$ より,
\begin{align*}
&1+a+b=1 \\[4pt]
&a+b=0~\cdots\cdots①
\end{align*}
また
\begin{align*}
\dint{-1}{1}f(x)\;dx&=\dint{-1}{1}(x^2+ax+b)\;dx \\[4pt]
&=2\dint{0}{1}(x^2+b)\;dx \\[4pt]
&=2\Tint{\dfrac{1}{3}x^3+bx}{0}{1} \\[4pt]
&=2\left(\dfrac{1}{3}+b\right)
\end{align*}
$\dint{-1}{1}f(x)\;dx=0$ であるから
\begin{align*}
&\dfrac{1}{3}+b=0 \\[4pt]
&b=-\dfrac{1}{3}
\end{align*}
このとき,①より $a=-b=\dfrac{1}{3}$

2018年 学習院大

2018年 学習院大定積分
\begin{align*}
\dint{-1}{1}(x+2)(\abs{x}-1)^2\;dx
\end{align*}
を求めよ。
【解答と考え方】
絶対値の中身が0以上か負で場合分けして計算していくのも良いが,$\abs{x}=\abs{-x}$ であることを考えて工夫してみよう。
被積分関数を
\begin{align*}
(x+2)(\abs{x}-1)^2=x(\abs{x}-1)^2+2(\abs{x}-1)^2
\end{align*}
と変形して
\begin{align*}
f(x)=x(\abs{x}-1)^2,~g(x)=2(\abs{x}-1)^2
\end{align*}
とおくと
\begin{align*}
f(-x)&=-x(\abs{-x}-1)^2 \\[4pt]
&=-x(\abs{x}-1)^2 \\[4pt]
&=-f(x)
\end{align*}
となるから,$f(x)$ は奇関数である。また
\begin{align*}
g(-x)&=2(\abs{-x}-1)^2 \\[4pt]
&=2(\abs{x}-1)^2 \\[4pt]
&=g(x)
\end{align*}
となるから,$g(x)$ は偶関数である。
したがって
\begin{align*}
\dint{-1}{1}(x+2)(\abs{x}-1)^2\;dx&=\dint{-1}{1}(f(x)+g(x))\;dx \\[4pt]
&=2\dint{0}{1}g(x)\;dx \\[4pt]
&=2\dint{0}{1}2(\abs{x}-1)^2\;dx \\[4pt]
&=2\dint{0}{1}(x-1)^2\;dx \\[4pt]
&=4\Tint{\dfrac{1}{3}(x-1)^3}{0}{1} \\[4pt]
&=\dfrac{4}{3}
\end{align*}
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