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3乗が現れる式の因数分解
問題$a^3+b^3+c^3-3abc$ を因数分解せよ。
【考え方と解答】
2つの3乗の和とそれ以外に分けて変形しよう。
2つの3乗の和とそれ以外に分けて変形しよう。
\begin{align*}
&a^3+b^3+c^3-3abc \\[4pt]
&=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc \\[4pt]
&=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc \\[4pt]
&=\{(a+b)+c\}\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}-3ab(a+b+c) \\[4pt]
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca)-3ab(a+b+c) \\[4pt]
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\end{align*}
&a^3+b^3+c^3-3abc \\[4pt]
&=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc \\[4pt]
&=(a+b)^3+c^3-3ab(a+b)-3abc \\[4pt]
&=\{(a+b)+c\}\{(a+b)^2-(a+b)c+c^2\}-3ab(a+b+c) \\[4pt]
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2+2ab-bc-ca)-3ab(a+b+c) \\[4pt]
&=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
\end{align*}
ヒロ
この因数分解については，公式として，いつでも使えるようにしておこう。
ヒロ
3乗の和（$a^3+b^3+c^3$）が現れる問題では，この因数分解公式を利用することが多いことも覚えておこう。
3乗が現れる式の因数分解2
2020年 東海大・医次の式を因数分解しなさい。
\begin{align*}
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=\myhako
\end{align*}
(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3=\myhako
\end{align*}
【考え方と解答】
2項ずつ2組に分けて，3乗の和や差の因数分解公式を利用しよう。
2項ずつ2組に分けて，3乗の和や差の因数分解公式を利用しよう。
\begin{align*}
&(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 \\[4pt]&=\{(a+b+c)-a\}\{(a+b+c)^2+(a+b+c)a+a^2\}-(b+c)(b^2-bc+c^2) \\[4pt]&=(b+c)\{(a+b+c)^2+2a^2+ab+ca\}-(b+c)(b^2-bc+c^2) \\[4pt]&=(b+c)\{(a+b+c)^2+2a^2+ab+ca-b^2+bc-c^2\} \\[4pt]&=(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca) \\[4pt]&=3(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\} \\[4pt]&=3(a+b)(b+c)(c+a)
\end{align*}
&(a+b+c)^3-a^3-b^3-c^3 \\[4pt]&=\{(a+b+c)-a\}\{(a+b+c)^2+(a+b+c)a+a^2\}-(b+c)(b^2-bc+c^2) \\[4pt]&=(b+c)\{(a+b+c)^2+2a^2+ab+ca\}-(b+c)(b^2-bc+c^2) \\[4pt]&=(b+c)\{(a+b+c)^2+2a^2+ab+ca-b^2+bc-c^2\} \\[4pt]&=(b+c)(3a^2+3ab+3bc+3ca) \\[4pt]&=3(b+c)\{a^2+(b+c)a+bc\} \\[4pt]&=3(a+b)(b+c)(c+a)
\end{align*}