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円の方程式を求める問題【西南学院大】
2011年 西南学院大平面上に2点A$(5-2\sqrt{2},~1+2\sqrt{2})$ とB$(5+2\sqrt{2},~1-2\sqrt{2})$ があり，線分ABを直径とする円を円 $C$ とする。円 $C$ の方程式は，
\begin{align*}
\left(x-\myhako\right)^2+\left(y-\myhako\right)^2=\myhako
\end{align*}
である。\left(x-\myhako\right)^2+\left(y-\myhako\right)^2=\myhako
\end{align*}
【考え方と解答】
求める円の方程式の形が基本形であることと，与えられている直径の両端の座標から，円の中心と半径を求めた方が楽だろう。円の中心Cは線分ABの中点であるから，その座標はC$(5,~1)$ である。半径を $r$ とすると
求める円の方程式の形が基本形であることと，与えられている直径の両端の座標から，円の中心と半径を求めた方が楽だろう。円の中心Cは線分ABの中点であるから，その座標はC$(5,~1)$ である。半径を $r$ とすると
\begin{align*}
r^2&=\text{AC}^2 \\[4pt]
&=(-2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2 \\[4pt]
&=16
\end{align*}
したがって，求める円 $C$ の方程式はr^2&=\text{AC}^2 \\[4pt]
&=(-2\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2 \\[4pt]
&=16
\end{align*}
\begin{align*}
(x-5)^2+(y-1)^2=16
\end{align*}
(x-5)^2+(y-1)^2=16
\end{align*}
円の方程式を求める問題【東京電機大】
2009年 東京電機大平面上の点A$(a,~0)$，B$(-1,~0)$（ただし，$a>0$）に対して，線分ABを直径とする円と $y$ 軸との交点の $y$ 座標をすべて求めよ。
【考え方と解答】
線分ABを直径とする円の方程式は
線分ABを直径とする円の方程式は
\begin{align*}
(x-a)(x+1)+y^2=0
\end{align*}
である。$x=0$ を代入すると(x-a)(x+1)+y^2=0
\end{align*}
\begin{align*}
&-a+y^2=0 \\[4pt]&y=\pm\sqrt{a}
\end{align*}
よって，求める交点の $y$ 座標は $y=\pm\sqrt{a}$&-a+y^2=0 \\[4pt]&y=\pm\sqrt{a}
\end{align*}
ヒロ
この問題では，中心や半径を求める必要はないため，上のような解法で解いた。
ヒロ
問題に応じて使い分けられるようになると良い。