【数学ⅡB】直径の両端が定められた円の方程式【西南学院大・東京電機大】

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直径の両端が与えられた円の方程式の導出

問題2点A$(a,~b)$，B$(c,~d)$ を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

ヒロ

2つの方法で直径の両端が与えられた円の方程式を導出する。

円の中心と半径を求める

ヒロ

今更であるが，直径の説明をしておく。

直径とは円周上の2点を結ぶ線分（弦という）の中で，円の中心を通るものやその長さのことである。

【考え方と解答】
直径ABの中点が円の中心Cであるから，Cの座標は $\left(\dfrac{a+c}{2},~\dfrac{b+d}{2}\right)$ である。半径を $r$ とすると

\begin{align*}
r^2&=\text{AC}^2 \\[4pt]
&=\left(a-\dfrac{a+c}{2}\right)^2+\left(b-\dfrac{b+d}{2}\right)^2 \\[4pt]
&=\left(\dfrac{a-c}{2}\right)^2+\left(\dfrac{b-d}{2}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{(a-c)^2+(b-d)^2}{4}
\end{align*}

よって，求める円の方程式は

\begin{align*}
\left(x-\dfrac{a+c}{2}\right)^2+\left(y-\dfrac{b+d}{2}\right)^2=\dfrac{(a-c)^2+(b-d)^2}{4}
\end{align*}

ヒロ

$\text{AC}^2$ を計算して $r^2$ を求めたが，$\text{BC}^2$ を計算しても同じ結果になる。

直径を斜辺とする直角三角形に着目する

ヒロ

直径に対する円周角が $90\Deg$ であることを利用して円の方程式を導こう。

2点A$(a,~b)$，B$(c,~d)$ を直径の両端とする円の方程式を求めよ。

【考え方と解答】
　ABが直径であるから，円周上の点をP$(x,~y)$ とすると，点Pが2点A，Bと一致しないときは $\kaku{APB}=90\Deg$ である。

APとBPの傾きの積が $-1$ であるから

\begin{align*}
&\dfrac{y-b}{x-a}\Cdota\dfrac{y-d}{x-c}=-1~\cdots\cdots① \\[4pt]&(x-a)(x-c)+(y-b)(y-d)=0~\cdots\cdots②
\end{align*}

ヒロ

この書き方では，傾きが定義されない点Pを除く必要があり，そのことに触れていないと減点される可能性がある。

【傾きが定義されない点は4か所ある】
　APやBPの傾きが定義されないのは，次の2つの場合がある。

点Pが点Aや点Bと一致するとき
APやBPが座標軸と平行になるとき

すなわち，点Pが次のA，B，P$_1$，P$_2$ の4点と一致するときである。

　傾きの積が $-1$ になることを利用して解答を書く場合は，上図の4点を除いた状態で考えていることに触れておこう。その後，除いた4点が求めた円周上の点であることを記述しよう。それは面倒だと感じる場合は，「傾きの積が $-1$」である式①を省略して，式②から書けば良い。式②の前に何らかの説明を書き加えたいなら，ベクトルで考えていることを書くと良いだろう。