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【数学ⅡB】直線が通過する領域【東北大・早稲田大・横浜国立大】

直線が通過する領域数学IAIIB
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直線が通過する領域【横浜国立大】

2019年 横浜国立大Oを原点とする $xy$ 平面上に2点A$(2,~0)$,B$(0,~2)$ がある。2点P,Qは条件(*)をみたしながら動く。
\begin{align*}
(*)\begin{cases}
\text{Pは線分OA上にある。} \\[4pt]\text{Qは線分OB上にある。} \\[4pt]\sankaku{OPQ}\text{の面積は1である。}
\end{cases}
\end{align*}
点Pの座標を $(t,~0)$ とする。次の問いに答えよ。
(1) $t$ のとり得る値の範囲を求めよ。
(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき,線分PQが通過する領域を $xy$ 平面上に図示せよ。
【(1)の考え方と解答】
 点Pは線分OA上にあるから,$0<=t\leqq2~\cdots\cdots①$ また,点Qの座標を $(s,~0)$ とおくと,$\sankaku{OPQ}$ の面積が1であることから
\begin{align*} &\dfrac{1}{2}st=1 \\[4pt] &s=\dfrac{2}{t} \end{align*}
点Qは線分OB上にあるから
\begin{align*} &0<=s\leqq2 \\[4pt] &0<=\dfrac{2}{t}<=2 \\[4pt] &1\leqq t~\cdots\cdots② \end{align*}
①,②より,$1\leqq t\leqq2$

(2) $t$ が(1)で求めた範囲を動くとき,線分PQが通過する領域を $xy$ 平面上に図示せよ。

【(2)の考え方と解答】
 2点P,Qの座標はP$(t,~0)$,Q$\left(0,~\dfrac{2}{t}\right)$ であるから,直線PQの方程式は
\begin{align*} &\dfrac{x}{t}+\dfrac{y}{\dfrac{2}{t}}=1 \\[4pt] &2x+t^2y-2t=0~\cdots\cdots③ \end{align*}
③を $t$ の方程式とみて変形すると
\begin{align*} yt^2-2t+2x=0~\cdots\cdots④ \end{align*}
④をみたす実数 $t$ が存在するための条件は,判別式を $D$ とすると,$D\geqq0$ であるから
\begin{align*} &\dfrac{D}{4}=1-2xy\geqq0 \\[4pt] &y\leqq\dfrac{1}{2x} \end{align*}
$y=\dfrac{1}{2x}$ のとき,④は重解 $t=\dfrac{1}{y}=2x$ をもつ。これは直線③と双曲線④が $x$ 座標が $\dfrac{t}{2}$ の点で接することを表している。
 $1\leqq t\leqq2$ のとき,接点は双曲線④の $\dfrac{1}{2}\leqq x\leqq1$ の部分を動く。また,直線③の方程式は $t=1$ のとき $2x+y-2=0$ となり,$t=2$ のとき $x+2y-2=0$ である。
 よって,求める線分PQが通過する領域は下図の斜線部分(境界を含む)となる。
2019年 横浜国立大 線分PQが通過する領域
ヒロ
ヒロ

次のアニメーションを見ることで,線分PQが動く様子を確認することができる。

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