命題の逆・裏・対偶について説明します。
新しい用語が出てきたときは，まずはそれらの用語の意味を正しく覚えることが大切です。
用語を正しく覚えていないと，問題文を理解できなかったり，授業を聞いても何を言っているのか分からなくなったりします。
そんなことにならないためにも，新規に出てきた用語については，正しい意味を理解して覚えるようにしましょう。
命題の逆・裏・対偶
ヒロ
まずは逆・裏・対偶とは何かを知ろう。
命題の逆・裏・対偶命題 $p\Longrightarrow q$ に対して
$q\Longrightarrow p$ を元の命題の逆
$\overline{p}\Longrightarrow\overline{q}$ を元の命題の裏
$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$ を元の命題の対偶
という。
$q\Longrightarrow p$ を元の命題の逆
$\overline{p}\Longrightarrow\overline{q}$ を元の命題の裏
$\overline{q}\Longrightarrow\overline{p}$ を元の命題の対偶
という。
ヒロ
2つの条件を入れ換えて矢印の向きを逆になったものを「逆」というのは覚えやすいだろう。
ヒロ
逆の裏を「対偶」というのを覚えておこう。
命題の逆・裏・対偶の真偽
ヒロ
ある命題の真偽とその命題の逆・裏・対偶の真偽の関係について，知っておくべきことがある。
対偶命題の真偽元の命題と対偶命題の真偽は一致する。
ヒロ
元の命題が真であれば，その対偶も真だし，元の命題が偽であれば，その対偶も偽となることを知っておこう。
ヒロ
また逆と裏については真偽の関係は特に決まっていないので，その都度，真になるか偽になるかを考えよう。
命題の逆・裏・対偶に関する問題
問題$x$ は実数とする。次の命題の逆・裏・対偶を述べ，それらの真偽を答えよ。
\begin{align*}
x^2-x=0 \Longrightarrow「x=0~または~x=1」
\end{align*}
x^2-x=0 \Longrightarrow「x=0~または~x=1」
\end{align*}
ヒロ
逆・裏・対偶の定義と否定の作り方が分かっていれば大丈夫だろう。
【逆】
「$x=0$ または $x=1$」$\Longrightarrow x^2-x=0$
$x=0$ のとき
「$x=0$ または $x=1$」$\Longrightarrow x^2-x=0$
$x=0$ のとき
\begin{align*}
x^2-x=0^2-0=0
\end{align*}
$x=1$ のときx^2-x=0^2-0=0
\end{align*}
\begin{align*}
x^2-x=1^2-1=0
\end{align*}
となり成り立つから真である。x^2-x=1^2-1=0
\end{align*}
ヒロ
「$A$ または $B$」を聞くと，いずれか一方というイメージが強いが，実際には共通部分（$A\cap B$）も含む。
ヒロ
しかし今回のような「$x=0$ または $x=1$」の場合は共通部分は存在しない。
ヒロ
したがって，1つずつ成り立つかどうかを調べれば真偽を判定できる。
【裏】
$x^2-x\neq0\Longrightarrow$「$x\neq0$ かつ $x\neq1$」
逆と裏は対偶の関係にあり，逆が真であるから裏も真である。
$x^2-x\neq0\Longrightarrow$「$x\neq0$ かつ $x\neq1$」
逆と裏は対偶の関係にあり，逆が真であるから裏も真である。
ヒロ
元の命題と対偶命題の真偽が一致することは上で書いたけど，逆と裏も対偶の関係にあることを理解しよう。
【対偶】
「$x\neq0$ かつ $x\neq1$」$\Longrightarrow x^2-x\neq0$
元の命題の真偽を考える。
$x^2-x=0$ のとき
「$x\neq0$ かつ $x\neq1$」$\Longrightarrow x^2-x\neq0$
元の命題の真偽を考える。
$x^2-x=0$ のとき
\begin{align*}
&x(x-1)=0 \\[4pt]
&x=0~または~x=1
\end{align*}
元の命題が真であるから，対偶も真である。&x(x-1)=0 \\[4pt]
&x=0~または~x=1
\end{align*}