相互関係を利用して三角比の値を求める問題
問題$90\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ としたとき，次の値を求めよ。
(1) $\sin\theta=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ のとき，$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値
(2) $\tan\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ のとき，$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値
(1) $\sin\theta=\dfrac{2}{\sqrt{13}}$ のとき，$\cos\theta$ と $\tan\theta$ の値
(2) $\tan\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ のとき，$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値
【(1)の考え方と解答】
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の関係式から $\cos\theta$ の値を求める。
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の関係式から $\cos\theta$ の値を求める。
$\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$ より
\begin{align*}
\cos^2\theta&=1-\sin^2\theta \\[4pt]
&=1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{13}
\end{align*}
$90\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき，$\cos\theta\leqq0$ であるから\cos^2\theta&=1-\sin^2\theta \\[4pt]
&=1-\left(\dfrac{2}{\sqrt{13}}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{13}
\end{align*}
\begin{align*}
\cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{13}}
\end{align*}
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値が分かったので $\tan\theta$ の値も求めることができる。\cos\theta=-\dfrac{3}{\sqrt{13}}
\end{align*}
\begin{align*}
\tan\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\times\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{3}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}
\tan\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{2}{\sqrt{13}}\times\left(-\dfrac{\sqrt{13}}{3}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}
(2) $\tan\theta=-\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ のとき，$\sin\theta$ と $\cos\theta$ の値
【(2)の考え方と解答】
$\tan\theta$ と $\sin\theta$ の関係式から $\sin\theta$ を求める。
$1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$ より
$\tan\theta$ と $\sin\theta$ の関係式から $\sin\theta$ を求める。
$1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$ より
\begin{align*}
\dfrac{1}{\sin^2\theta}&=1+\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{5} \\[4pt]
\sin^2\theta&=\dfrac{5}{9}
\end{align*}
$90\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ のとき $\sin\theta\geqq0$ であるから\dfrac{1}{\sin^2\theta}&=1+\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right)^2 \\[4pt]
&=\dfrac{9}{5} \\[4pt]
\sin^2\theta&=\dfrac{5}{9}
\end{align*}
\begin{align*}
\sin\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{3}
\end{align*}
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より\sin\theta=\dfrac{\sqrt{5}}{3}
\end{align*}
\begin{align*}
\cos\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\tan\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\times\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}
\cos\theta&=\dfrac{\sin\theta}{\tan\theta} \\[4pt]
&=\dfrac{\sqrt{5}}{3}\times\left(-\dfrac{2}{\sqrt{5}}\right) \\[4pt]
&=-\dfrac{2}{3}
\end{align*}
相互関係を利用して三角比の値を求める問題2
ヒロ
それでは次の問題を解いてみよう。
問題$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ とする。$\tan\theta=-3$ のとき，$\cos\theta,~\sin\theta$ の値を求めよ。
【考え方と解答】
$\cos\theta$ を求めるために，$\tan\theta$ と $\cos\theta$ の関係式を利用しよう。
$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より
$\cos\theta$ を求めるために，$\tan\theta$ と $\cos\theta$ の関係式を利用しよう。
$1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$ より
\begin{align*}
\dfrac{1}{\cos^2\theta}&=1+\tan^2\theta \\[4pt]
&=1+(-3)^2=10 \\[4pt]
\cos^2\theta&=\dfrac{1}{10}
\end{align*}
$0\Deg\leqq\theta\leqq180\Deg$ だから $\cos\theta$ の符号が決まらないと思うのはダメ。$\tan\theta$ の値（符号）が決まっているのだから，角 $\theta$ が鋭角か鈍角かは既に決まっているはずだと思えるようにしよう。この問題では $\tan\theta$ が負であるから，$\theta$ は鈍角であり，$\cos\theta$ の値も負であることが分かる。よって\dfrac{1}{\cos^2\theta}&=1+\tan^2\theta \\[4pt]
&=1+(-3)^2=10 \\[4pt]
\cos^2\theta&=\dfrac{1}{10}
\end{align*}
\begin{align*}
\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}
\end{align*}
$\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$ より\cos\theta=-\dfrac{1}{\sqrt{10}}
\end{align*}
\begin{align*}
\sin\theta&=\tan\theta\cos\theta \\[4pt]
&=-3\times\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{3}{\sqrt{10}}
\end{align*}
\sin\theta&=\tan\theta\cos\theta \\[4pt]
&=-3\times\left(-\dfrac{1}{\sqrt{10}}\right) \\[4pt]
&=\dfrac{3}{\sqrt{10}}
\end{align*}
三角比の相互関係のまとめ
ヒロ
三角比の相互関係をまとめると次のようになる。
三角比の相互関係
- $\sin^2\theta+\cos^2\theta=1$
- $\tan\theta=\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $1+\tan^2\theta=\dfrac{1}{\cos^2\theta}$
- $1+\dfrac{1}{\tan^2\theta}=\dfrac{1}{\sin^2\theta}$