【数学ⅡB】2直線のなす角【立教大・近畿大・津田塾大】

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2直線のなす角に関する問題

2020年近畿大$k$ を正の実数とする。座標平面上において，方程式

\begin{align*}
16kx^2+(8k-8)xy-4y^2-(8k^2+42k)x-(4k^2-21)y+21k^2=0
\end{align*}

は2つの直線

\begin{align*}
&l:\myhako\,kx-y-k^2=0 \\[4pt]
&m:\myhako\,x+\myhako\,y-21=0
\end{align*}

を表す。$l$ と $m$ の交点をAとする。
$l$ と $x$ 軸との交点をB，$m$ と $x$ 軸との交点をCとすると，$\kaku{BAC}=\dfrac{\pi}{3}$ のとき，$k=\dfrac{\myhako+\myhako\sqrt{\myhako}}{\myhako}$ である。

【前半の問題の考え方と解答】
与えられた方程式を因数分解して，2直線の方程式を求めよう。与えられた方程式より

\begin{align*}
&16kx^2+\{(8k-8)y-(8k^2+42k)\}x-\{4y^2+(4k^2-21)y-21k^2\}=0 \\[4pt]
&16kx^2+\{(8k-8)y-(8k^2+42k)\}x-(y+k^2)(4y-21)=0 \\[4pt]
&\{2kx-(y+k^2)\}(8x+4y-21)=0 \\[4pt]
&2kx-y-k^2=0~または~8x+4y-21=0
\end{align*}

よって，与えられた方程式は2直線

\begin{align*}
&l:2kx-y-k^2=0 \\[4pt]
&m:8x+4y-21=0
\end{align*}

を表す。

ヒロ

次は2直線のなす角に関する問題だから，タンジェントの加法定理を利用しよう。

【後半の問題の考え方と解答】
2直線 $l,~m$ と $x$ 軸の正の方向となす角をそれぞれ $\alpha,~\beta$ とすると

\begin{align*}
\tan\alpha=2k,~\tan\beta=-2
\end{align*}

が成り立つ。$\kaku{BAC}=\beta-\alpha$ より，

\begin{align*}
&\tan(\beta-\alpha)=\dfrac{\tan\beta-\tan\alpha}{1+\tan\beta\tan\alpha} \\[4pt]
&\tan\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{-2-2k}{1+(-2)\Cdota2k} \\[4pt]
&\sqrt{3}(1-4k)=-2-2k \\[4pt]
&(4\sqrt{3}-2)k=\sqrt{3}+2 \\[4pt]
&k=\dfrac{\sqrt{3}+2}{4\sqrt{3}-2}
\end{align*}

分母・分子に $4\sqrt{3}+2$ をかけて

\begin{align*}
k&=\dfrac{(\sqrt{3}+2)(4\sqrt{3}+2)}{(4\sqrt{3}-2)(4\sqrt{3}+2)} \\[4pt]
&=\dfrac{16+10\sqrt{3}}{44} \\[4pt]
&=\dfrac{8+5\sqrt{3}}{22}
\end{align*}

弦のなす角に関する問題

2018年津田塾大$a,~b$ を $0<a<b$ を満たす定数とする。2定点A$(0,~a)$，B$(0,~b)$ と，$x$ 軸上を動く点P$(t,~0)$ を考える。ただし，$t>0$ とする。
(1) 3点A，B，Pを通る円 $C$ の中心の座標を $t,~a,~b$ を用いて表せ。
(2) $\tan\kaku{BPA}$ を $t,~a,~b$ を用いて表せ。
(3) 円 $C$ が $x$ 軸と接するときの $t$ を $a,~b$ を用いて表せ。
(4) $\kaku{BPA}$ の大きさを最大にする $t$ を $a,~b$ を用いて表せ。

【(1)の考え方と解答】
2定点A，Bを通る円は

\begin{align*}
x^2+(y-a)(y-b)+kx=0~\cdots\cdots(*)
\end{align*}

と表せる。これが点P$(t,~0)$ を通るとき

\begin{align*}
&t^2+ab+kt=0 \\[4pt]&k=-t-\dfrac{ab}{t}
\end{align*}

よって，3点A，B，Pを通る円 $C$ の方程式は

\begin{align*}
&x^2+(y-a)(y-b)-\left(t+\dfrac{ab}{t}\right)x=0 \\[4pt]&\left\{x-\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{ab}{t}\right)\right\}^2+\left(y-\dfrac{a+b}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(t+\dfrac{ab}{t}\right)^2+\dfrac{1}{4}(a+b)^2-ab \\[4pt]&\left\{x-\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{ab}{t}\right)\right\}^2+\left(y-\dfrac{a+b}{2}\right)^2=\dfrac{1}{4}\left(a^2+b^2+t^2+\dfrac{a^2b^2}{t^2}\right)
\end{align*}

よって，求める円 $C$ の中心の座標は

\begin{align*}
\left(\dfrac{1}{2}\left(t+\dfrac{ab}{t}\right),~\dfrac{a+b}{2}\right)
\end{align*}

ヒロ

(＊)と表せる理由が分からない人は，次の記事を読むと理解できるだろう。

【数学ⅡB】円と直線の共有点を通る円【早稲田大】

これまでに扱ってきた「共有点を通る図形」には，次のものがあります。 2直線の交点を通る直線 2つの放物線の交点を通る直線円の方程式を扱うようになったことで，「円と直線の共有点を通る円」や「円と円の共有点を通る円」などを考えることができます...

(2) $\tan\kaku{BPA}$ を $t,~a,~b$ を用いて表せ。

【(2)の考え方と解答】
2直線AP，BPと $x$ 軸の正の方向とのなす角をそれぞれ $\alpha,~\beta$ とすると，

\begin{align*}
\tan\alpha=-\dfrac{a}{t},~\tan\beta=-\dfrac{b}{t}
\end{align*}

となる。

$\kaku{BPA}=\beta-\alpha$ であるから

\begin{align*}
\tan\kaku{BPA}&=\tan(\alpha-\beta) \\[4pt]&=\dfrac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta} \\[4pt]&=\dfrac{-\dfrac{a}{t}+\dfrac{b}{t}}{1+\left(-\dfrac{a}{t}\right)\Cdota\left(-\dfrac{b}{t}\right)} \\[4pt]&=\dfrac{b-a}{t+\dfrac{ab}{t}}
\end{align*}

(3) 円 $C$ が $x$ 軸と接するときの $t$ を $a,~b$ を用いて表せ。

【(3)の考え方と解答】
円 $C$ の $y$ 座標は正であるから，$C$ が $x$ 軸と接するときは，$C$ の中心の $y$ 座標と半径が等しいときである。(1)の結果より

\begin{align*}
&\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{1}{2}\sqrt{a^2+b^2+t^2+\dfrac{a^2b^2}{t^2}}
\end{align*}

両辺2乗して

\begin{align*}
&(a+b)^2=a^2+b^2+t^2+\dfrac{a^2b^2}{t^2} \\[4pt]&t^2-2ab+\dfrac{a^2b^2}{t^2}=0 \\[4pt]&\left(t-\dfrac{ab}{t}\right)^2=0 \\[4pt]&t-\dfrac{ab}{t}=0 \\[4pt]&t^2=ab
\end{align*}

$t>0$ より，$t=\sqrt{ab}$

(4) $\kaku{BPA}$ の大きさを最大にする $t$ を $a,~b$ を用いて表せ。

【(4)の考え方と解答】
　$0<\kaku{BPA}<\dfrac{\pi}{2}$ であるから，$\kaku{BPA}$ の大きさが最大になるのは，$\tan\kaku{BPA}$ が最大になるときである。したがって，(2)の結果より，$t+\dfrac{ab}{t}$ が最小になるときであると分かる。
　$t>0,~ab>0$ であるから，相加・相乗平均の関係より

\begin{align*}
t+\dfrac{ab}{t}\geqq2\sqrt{t\Cdota\dfrac{ab}{t}}=2\sqrt{ab}
\end{align*}

が成り立つ。等号が成り立つのは，$t=\dfrac{ab}{t}$ すなわち $t=\sqrt{ab}$ のときである。
　よって，$\kaku{BPA}$ の大きさを最大にする $t$ は，$t=\sqrt{ab}$ である。