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円周上の点における接線に関する問題【神奈川工科大】
2013年 神川工科大原点を中心とし，点A$(1,~2)$ を通る円を $C$ とする。$C$ の方程式は $\myhako$ である。$C$ 上の点Aにおける接線を $l$ とすると，接線 $l$ の方程式は $y=\myhako$ である。また，$l$ に垂直な $C$ の接線のうち，$y$ 切片が小さい方を $m$，大きい方を $n$ とすると，接線 $m$ の方程式は $y=\myhako$，接線 $n$ の方程式は $y=\myhako$ である。
【考え方と解答】
原点から点Aまでの距離は
よって，直線の方程式を $y=2x+k$ とおくと，この直線と原点との距離が半径 $\sqrt{5}$ に等しいから
原点から点Aまでの距離は
\begin{align*}
\text{OA}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}
\end{align*}
であるから，円 $C$ の方程式は\text{OA}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}
\end{align*}
\begin{align*}
x^2+y^2=5
\end{align*}
となる。点Aにおける接線 $l$ の方程式はx^2+y^2=5
\end{align*}
\begin{align*}
&1\Cdota x+2\Cdota y=5 \\[4pt]
&y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}
\end{align*}
$l$ の傾きが $-\dfrac{1}{2}$ であるから，2つの接線 $m,~n$ の傾きは2である。&1\Cdota x+2\Cdota y=5 \\[4pt]
&y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2}
\end{align*}
よって，直線の方程式を $y=2x+k$ とおくと，この直線と原点との距離が半径 $\sqrt{5}$ に等しいから
\begin{align*}
&\dfrac{\abs{k}}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5} \\[4pt]
&\abs{k}=5 \\[4pt]
&k=\pm5
\end{align*}
したがって，接線 $m$ の方程式は&\dfrac{\abs{k}}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5} \\[4pt]
&\abs{k}=5 \\[4pt]
&k=\pm5
\end{align*}
\begin{align*}
y=2x-5
\end{align*}
であり，接線 $n$ の方程式はy=2x-5
\end{align*}
\begin{align*}
y=2x+5
\end{align*}
である。y=2x+5
\end{align*}
円周上の点における接線に関する問題【立教大】
2014年 立教大円 $x^2+y^2-3y+1=0$ の周上の点 $\left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{2}\right)$ における円の接線の方程式を求めよ。
【考え方と解答】
円の方程式を基本形に直して，公式を使おう。
$x^2+y^2-3y+1=0$ より
円の方程式を基本形に直して，公式を使おう。
$x^2+y^2-3y+1=0$ より
\begin{align*}
x^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}
\end{align*}
よって，求める接線の方程式はx^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4}
\end{align*}
\begin{align*}
&\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{5}{4} \\[4pt]
&2x-4\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=5 \\[4pt]
&2x-4y+1=0
\end{align*}
&\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{5}{4} \\[4pt]
&2x-4\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=5 \\[4pt]
&2x-4y+1=0
\end{align*}
円周上の点における接線に関する問題【法政大】
2012年 法政大円 $x^2+y^2-10x-8y+31=0$ を $C$ とし，$C$ の周上の点$(8,~3)$における接線を $l$ とおく。$l$ の方程式は $y=\myhako\,x-\myhako$ である。
【考え方と解答】
$x^2+y^2-10x-8y+31=0$ より
$x^2+y^2-10x-8y+31=0$ より
\begin{align*}
&(x-5)^2+(y-4)^2=25+16-31 \\[4pt]
&(x-5)^2+(y-4)^2=10
\end{align*}
よって，点$(8,~3)$における接線 $l$ の方程式は&(x-5)^2+(y-4)^2=25+16-31 \\[4pt]
&(x-5)^2+(y-4)^2=10
\end{align*}
\begin{align*}
&(8-5)(x-5)+(3-4)(y-4)=10 \\[4pt]
&3x-15-y+4=10 \\[4pt]
&y=3x-21
\end{align*}
&(8-5)(x-5)+(3-4)(y-4)=10 \\[4pt]
&3x-15-y+4=10 \\[4pt]
&y=3x-21
\end{align*}