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円周上の点における接線に関する問題【神奈川工科大】
2013年 神川工科大原点を中心とし，点A(1,~2) を通る円を C とする。C の方程式は \myhako である。C 上の点Aにおける接線を l とすると，接線 l の方程式は y=\myhako である。また，l に垂直な C の接線のうち，y 切片が小さい方を m，大きい方を n とすると，接線 m の方程式は y=\myhako，接線 n の方程式は y=\myhako である。
【考え方と解答】
原点から点Aまでの距離は
よって，直線の方程式を y=2x+k とおくと，この直線と原点との距離が半径 \sqrt{5} に等しいから
原点から点Aまでの距離は
\begin{align*} \text{OA}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5} \end{align*}
であるから，円 C の方程式は\begin{align*} x^2+y^2=5 \end{align*}
となる。点Aにおける接線 l の方程式は\begin{align*} &1\Cdota x+2\Cdota y=5 \\[4pt] &y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{5}{2} \end{align*}
l の傾きが -\dfrac{1}{2} であるから，2つの接線 m,~n の傾きは2である。よって，直線の方程式を y=2x+k とおくと，この直線と原点との距離が半径 \sqrt{5} に等しいから
\begin{align*} &\dfrac{\abs{k}}{\sqrt{2^2+(-1)^2}}=\sqrt{5} \\[4pt] &\abs{k}=5 \\[4pt] &k=\pm5 \end{align*}
したがって，接線 m の方程式は\begin{align*} y=2x-5 \end{align*}
であり，接線 n の方程式は\begin{align*} y=2x+5 \end{align*}
である。円周上の点における接線に関する問題【立教大】
2014年 立教大円 x^2+y^2-3y+1=0 の周上の点 \left(\dfrac{1}{2},~\dfrac{1}{2}\right) における円の接線の方程式を求めよ。
【考え方と解答】
円の方程式を基本形に直して，公式を使おう。
x^2+y^2-3y+1=0 より
円の方程式を基本形に直して，公式を使おう。
x^2+y^2-3y+1=0 より
\begin{align*} x^2+\left(y-\dfrac{3}{2}\right)^2=\dfrac{5}{4} \end{align*}
よって，求める接線の方程式は\begin{align*} &\dfrac{1}{2}x+\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{3}{2}\right)\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=\dfrac{5}{4} \\[4pt] &2x-4\left(y-\dfrac{3}{2}\right)=5 \\[4pt] &2x-4y+1=0 \end{align*}
円周上の点における接線に関する問題【法政大】
2012年 法政大円 x^2+y^2-10x-8y+31=0 を C とし，C の周上の点(8,~3)における接線を l とおく。l の方程式は y=\myhako\,x-\myhako である。
【考え方と解答】
x^2+y^2-10x-8y+31=0 より
x^2+y^2-10x-8y+31=0 より
\begin{align*} &(x-5)^2+(y-4)^2=25+16-31 \\[4pt] &(x-5)^2+(y-4)^2=10 \end{align*}
よって，点(8,~3)における接線 l の方程式は\begin{align*} &(8-5)(x-5)+(3-4)(y-4)=10 \\[4pt] &3x-15-y+4=10 \\[4pt] &y=3x-21 \end{align*}