2020年センター試験 数学ⅡB 第1問 三角関数

2020年センター試験数学ⅡB 第1問三角関数の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年センターⅡB 第1問三角関数〔1〕
(1) $0\leqq\theta<2\pi$ のとき

\begin{align*} \sin\theta>\sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right)~\cdots\cdots① \end{align*}

となる $\theta$ の値の範囲の求めよう。
　加法定理を用いると

\begin{align*} \sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right) =\dfrac{\sqrt{\myBox{ア}}}{\myBox{イ}}\cos\theta+\dfrac{\myBox{ウ}}{\mybox{イ}}\sin\theta \end{align*}

である。よって，三角関数の合成を用いると，①は

\begin{align*} \sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{\myBox{エ}}\right)<0 \end{align*}

と変形できる。したがって，求める範囲は

\begin{align*} \dfrac{\myBox{オ}}{\myBox{カ}}\pi<\theta<\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\pi \end{align*}

である。
(2) $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ とし，$k$ を実数とする。 $\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $x$ の2次方程式 $25x^2-35x+k=0$ の解であるとする。このとき，解と係数の関係より $\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の値を考えれば，$k=\myBox{ケコ}$ であることがわかる。　さらに，$\theta$ が $\sin\theta\geqq\cos\theta$ を満たすとすると， $\sin\theta=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$, $\cos\theta=\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ である。このとき，$\theta$ は $\myBox{ソ}$ を満たす。$\myBox{ソ}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪ $0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{12}$ 　① $\dfrac{\pi}{12}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{6}$
② $\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{4}$ 　③ $\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{3}$
④ $\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta<\dfrac{5}{12}\pi$ 　⑤ $\dfrac{5}{12}\pi\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$

Contents

1 (1)の考え方と解答
2 (2)の考え方と解答
3 2020年センター数学ⅡB 三角関数を解いた感想

(1)の考え方と解答

ヒロ

加法定理を用いて変形しよう。

【ア～ウの解答】

\begin{align*} &\sqrt{3}\cos\left(\theta-\dfrac{\pi}{3}\right) \\[4pt] &=\sqrt{3}\left(\cos\theta\cos\dfrac{\pi}{3}+\sin\theta\sin\dfrac{\pi}{3}\right) \\[4pt] &=\sqrt{3}\left(\dfrac{1}{2}\cos\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta\right) \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\dfrac{3}{2}\sin\theta \end{align*}

ヒロ

いま行った変形を利用して①を解こう。

【エ～クの解答】
①より

\begin{align*} &\sin\theta>\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta+\dfrac{3}{2}\sin\theta \\[4pt] &\dfrac{1}{2}\sin\theta+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta<0 \\[4pt] &\sin\left(\theta+\dfrac{\pi}{3}\right)<0 \end{align*}

$0\leqq\theta<2\pi$ のとき $\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta+\dfrac{\pi}{3}<\dfrac{7}{3}\pi$ であるから

\begin{align*} &\pi<\theta+\dfrac{\pi}{3}<2\pi \\[4pt] &\dfrac{2}{3}\pi<\theta<\dfrac{5}{3}\pi \end{align*}

(2)の考え方と解答

(2) $0\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$ とし，$k$ を実数とする。 $\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $x$ の2次方程式 $25x^2-35x+k=0$ の解であるとする。このとき，解と係数の関係より $\sin\theta+\cos\theta$ と $\sin\theta\cos\theta$ の値を考えれば，$k=\myBox{ケコ}$ であることがわかる。
　さらに，$\theta$ が $\sin\theta\geqq\cos\theta$ を満たすとすると， $\sin\theta=\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}$, $\cos\theta=\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}}$ である。このとき，$\theta$ は $\myBox{ソ}$ を満たす。$\myBox{ソ}$ に当てはまるものを，次の⓪～⑤のうちから一つ選べ。
⓪ $0\leqq\theta<\dfrac{\pi}{12}$ 　① $\dfrac{\pi}{12}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{6}$
② $\dfrac{\pi}{6}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{4}$ 　③ $\dfrac{\pi}{4}\leqq\theta<\dfrac{\pi}{3}$
④ $\dfrac{\pi}{3}\leqq\theta<\dfrac{5}{12}\pi$ 　⑤ $\dfrac{5}{12}\pi\leqq\theta\leqq\dfrac{\pi}{2}$

ヒロ

「解と係数の関係により」と誘導されているから簡単だね。

【ケコの解答】
$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は $x$ の2次方程式 $25x^2-35x+k=0$ の解であるから

\begin{align*} &\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{7}{5} \\[4pt] &\sin\theta\cos\theta=\dfrac{k}{25} \end{align*}

よって

\begin{align*} k&=25\sin\theta\cos\theta \\[4pt] &=\dfrac{25}{2}\{(\sin\theta+\cos\theta)^2-1\} \\[4pt] &=\dfrac{25}{2}\left\{\left(\dfrac{7}{5}\right)^2-1\right\} \\[4pt] &=\dfrac{25}{2}\Cdota\dfrac{24}{25} \\[4pt] &=12 \end{align*}

ヒロ

次は一瞬で求めたい問題。

【サ～セの解答】
空欄の形と $\sin\theta+\cos\theta=\dfrac{7}{5}$ から，$\sin\theta$ と $\cos\theta$ は一方が $\dfrac{3}{5}$ でもう一方が $\dfrac{4}{5}$ であると分かる。$\sin\theta\geqq\cos\theta$ より

\begin{align*} \sin\theta=\dfrac{4}{5},~\cos\theta=\dfrac{3}{5} \end{align*}

ヒロ

$\theta$ の範囲を求めよう。

【ソの解答】
$\sin\theta>\cos\theta$ より，$\theta>\dfrac{\pi}{4}$ である。
$\theta$ と $\dfrac{\pi}{3}$ の大小を比較するために， $\cos\theta$ と $\cos\dfrac{\pi}{3}=\dfrac{1}{2}$ を比べる。
$\dfrac{3}{5}>\dfrac{1}{2}$ であるから，$\cos\theta>\cos\dfrac{\pi}{3}$ である。よって，$\theta<\dfrac{\pi}{3}$
したがって，$\dfrac{\pi}{4}<\theta<\dfrac{\pi}{3}$ となり $\myBox{ソ}=③$ である。