2018年センター試験 数学ⅠA 第4問 整数の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
2018年 センターⅠA 第4問 整数(1) 144を素因数分解すると
(2) 不定方程式
(3) 144の倍数で，7で割ったら余りが1となる自然数のうち，正の約数の個数が18個である最小のものは 144\times\myBox{ス} であり，正の約数の個数が30個である最小のものは 144\times\myBox{セソ} である。
\begin{align*} 144=2^{\myBox{ア}}\times\myBox{イ}^{~\myBox{ウ}} \end{align*}
であり，144の正の約数の個数は \myBox{エオ} 個である。(2) 不定方程式
\begin{align*} 144x-7y=1 \end{align*}
の整数解 x,~y の中で，x の絶対値が最小になるのは\begin{align*} x=\myBox{カ},~y=\myBox{キク} \end{align*}
であり，すべての整数解は，k を整数として\begin{align*} x=\myBox{ケ}~k+\mybox{カ},~y=\myBox{コサシ}~k+\mybox{キク} \end{align*}
と表される。(3) 144の倍数で，7で割ったら余りが1となる自然数のうち，正の約数の個数が18個である最小のものは 144\times\myBox{ス} であり，正の約数の個数が30個である最小のものは 144\times\myBox{セソ} である。
(1)の解答
ヒロ
144を素因数分解するだけだから簡単だろう。
【ア～ウの解答】
\begin{align*} 144&=12^2 \\[4pt] &=(2^2\Cdota3)^2 \\[4pt] &=2^4\times3^2 \end{align*}
ヒロ
正の約数の個数も基本だね。
【エオの解答】
144の正の約数の個数は
144の正の約数の個数は
\begin{align*} 5\times3=15 \end{align*}
(2)の解答
(2) 不定方程式
\begin{align*} 144x-7y=1 \end{align*}の整数解 x,~y の中で，x の絶対値が最小になるのは\begin{align*} x=\myBox{カ},~y=\myBox{キク} \end{align*}であり，すべての整数解は，k を整数として\begin{align*} x=\myBox{ケ}~k+\mybox{カ},~y=\myBox{コサシ}~k+\mybox{キク} \end{align*}と表される。
ヒロ
まずはユークリッドの互除法を利用して特殊解を求めよう。その後，一般解を求めよう。
【カ～シの解答】
x の絶対値が1以下の x=0,~\pm1 は解ではないから，x の絶対値が最小になるのは
\begin{align*} &144=7\times20+4 \cdots\cdots① \\[4pt] &7=4\times1+3 \cdots\cdots② \\[4pt] &4=3\times1+1 \cdots\cdots③ \end{align*}
①，②，③より\begin{align*} 1&=4-3 \\[4pt] &=4-(7-4) \\[4pt] &=4\times2-7 \\[4pt] &=(144-7\times20)\times2-7 \\[4pt] &=144\times2-7\times41 \end{align*}
よって，解の1つは x=2,~y=41 である。x の絶対値が1以下の x=0,~\pm1 は解ではないから，x の絶対値が最小になるのは
\begin{align*} x=2,~y=41 \end{align*}
である。また，144x-7y=1 のすべての整数解は，k を整数として\begin{align*} x=7k+2,~y=144k+41 \end{align*}
と表せる。(3)の解答
(3) 144の倍数で，7で割ったら余りが1となる自然数のうち， 正の約数の個数が18個である最小のものは 144\times\myBox{ス} であり， 正の約数の個数が30個である最小のものは 144\times\myBox{セソ} である。
ヒロ
正の約数の個数から，その自然数を求める問題。
【スの解答】
正の約数の個数が18個であるものは，a,~b を異なる素数として
正の約数の個数が18個であるものは，a,~b を異なる素数として
\begin{align*} a^{17},~a^8\Cdota b,~a^5\Cdota b^2 \end{align*}
と表せる。この中で144の倍数であるのは\begin{align*} a^5\Cdota b^2 \end{align*}
の形に限られ，最小のものは，a=2,~b=3 として\begin{align*} 2^5\Cdota3^2=144\times2 \end{align*}
となる。これは7で割った余りが1となる数であるから条件を満たす。\myBox{ス}=2ヒロ
正の約数の個数が30個になっても同じように解けるはず。
【セソの解答】
正の約数の個数が30個であるものは，a,~b,~c を異なる素数として
次は 2^4\Cdot3^2\Cdot c の c を変えていく。7k+2 と表される素数で小さいものを考えると，k=3 のときが条件を満たす。このとき
正の約数の個数が30個であるものは，a,~b,~c を異なる素数として
\begin{align*} a^{29},~a^{14}\Cdota b,~a^9\Cdota b^2,~a^5\Cdota b^4,~a^4\Cdota b^2\Cdota c \end{align*}
と表せる。144の倍数であるのは\begin{align*} a^9\Cdota b^2,~a^5\Cdota b^4,~a^4\Cdota b^2\Cdota c \end{align*}
の形に限られ，最小のものは，a=2,~b=3,~c=5 として\begin{align*} &2^9\Cdota3^2,~2^5\Cdota3^4,~2^4\Cdota3^2\Cdota5 \\[4pt] &=144\times32,~144\times18,~144\times5 \end{align*}
となる。(2)の結果から，144にかける数は k を自然数として，7k+2 と表されるときと分かるが，上の3つはすべて当てはまらない。2と3を入れ替えることができるのは，真ん中の数だけであり\begin{align*} &3^5\Cdota2^4=144\times27 \end{align*}
となる。これも27が7で割ると4余る数のため，条件を満たさない。次は 2^4\Cdot3^2\Cdot c の c を変えていく。7k+2 と表される素数で小さいものを考えると，k=3 のときが条件を満たす。このとき
\begin{align*} 2^4\Cdota3^2\Cdota23=144\times23 \end{align*}
となり，\myBox{セソ}=23 である。(2)の別解
ヒロ
合同式を用いると次のように解くことができる。
【カ～シの別解】
\begin{align*} &144x-7y\equiv1\pmod{7} \\[4pt] &144x\equiv1\pmod{7} \end{align*}
また\begin{align*} &144\equiv4\pmod{7} \end{align*}
であるから\begin{align*} 4x\equiv1\pmod{7} \end{align*}
よって，解の1つは x=2 であることが分かるから，一般解は k を整数として x=7k+2 と表せる。このとき\begin{align*} &144(7k+2)-7y=1 \\[4pt] &144\Cdota7k-7y+287=0 \\[4pt] &y=144k+41 \end{align*}
x の絶対値が最小になるのは\begin{align*} x=2,~y=41 \end{align*}
である。2018年 センター数学ⅠA 整数を解いた感想
ヒロ
(1)，(2)は見た瞬間に簡単そうだなと思うため，手を付けやすい。
ヒロ
(3)も \myBox{ス} は簡単だから整数を選んで良かったと思う人が多いだろう。
ヒロ
ただ，最後の \myBox{セソ} が少し面倒。しかし3点しかないので捨てるのもアリだろう。
