【面積公式】3分の1公式【1999年センター数学ⅡB 微積】

数学Ⅱで学習する面積を求める3分の1公式（1/3公式）の説明をします。3分の1公式は，センター試験の数学で面積を求める裏技公式として有名な公式の1つです。

放物線とその接線と $y$ 軸に平行な直線で囲まれる図形の面積を求めるときに，3分の1公式を使うことで，定積分の式を書かず，積分計算もせずに，速く楽に面積を求めることができます。

3分の1公式も6分の1公式と同様に十分使える形で，様々な大学入試で出題されています。公式が何故成り立つかを知ることは重要です。しかし，公式を単なる道具として使えることも重要です。特にセンター試験のような短時間で正確に答えを求めればよい試験に対しては，3分の1公式を使って時間を短縮しましょう。

3分の1公式の証明を知ることで，3分の1公式が成り立つことが当たり前だと感じることができるでしょう。

1999年のセンター試験数学ⅡBの問題を扱って説明します。

1999年センター試験数学ⅡB放物線 $y=-x^2+2x$ を $C$ とし，原点Oにおける $C$ の接線を $\ell$ とする。
直線 $x=\dfrac{a}{2},~\ell$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ は $S=\dfrac{a^{\,\myBox{ア}}}{\myBox{イウ}}$である。ただし，$a$ は $0<a<2$ を満たす定数とする。

プリントを次のリンクからダウンロードできます。

ダウンロード

Contents

1 定積分で面積を求める（通常解法）
2 放物線とその接線と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を一般的に求める
3 接する2つの放物線と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を一般的に求める
4 面積を求める3分の1公式
5 3分の1公式を利用した解法（裏技解法）
6 被積分関数を因数分解したときの形を知って3分の1公式を理解しよう
7 まとめ

定積分で面積を求める（通常解法）

ヒロ

まずは図を描いて，どの図形の面積を求めるのか把握しよう。

$y=-x^2+2x$ より

\begin{align*}
y’=-2x+2
\end{align*}

であるから，原点Oにおける $C$ の接線 $\ell$ の方程式は

\begin{align*}
y=2x
\end{align*}

放物線 $C$ の軸は $x=1$ であり，$0<a<2$ より $0<\dfrac{a}{2}<1$ であるから，直線 $x=\dfrac{a}{2}$ は $y$ 軸と $C$ の軸の間にある。
よって，直線 $x=\dfrac{a}{2},~\ell$ および $C$ で囲まれた図形は下図の斜線部分となる。

よって求める面積 $S$ は

\begin{align*}
S&=\dint{0}{\frac{a}{2}}\{2x-(-x^2+2x)\}\;dx \\[4pt]
&=\dint{0}{\frac{a}{2}}x^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{1}{3}x^3}{0}{\frac{a}{2}} \\[4pt]
&=\dfrac{1}{3}\left(\dfrac{a}{2}\right)^3 \\[4pt]
&=\dfrac{a^3}{24}
\end{align*}

放物線とその接線と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を一般的に求める

ヒロ

一般的に考えてみよう。

問題$f(x)=ax^2+bx+c~(a>0)$ とし，放物線 $C:y=f(x)$ 上の点 $\mathrm{A}(t_1,~f(t_1))$ における接線を $\ell$ とする。直線 $x=t_2~(\neq t_1)$，$\ell$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。

ヒロ

まず接線 $\ell$ の方程式を求めよう。

$f(x)=ax^2+bx+c$ より

\begin{align*}
f'(x)=2ax+b
\end{align*}

であるから，接線 $\ell$ の方程式は

\begin{align*}
&y=(2at_1+b)(x-t_1)+a{t_1}^2+bt_1+c \\[4pt]
&y=(2at_1+b)x-a{t_1}^2+c
\end{align*}

ヒロ

図を描くと次のようになる。

ヒロ

次に面積 $S$ を求めよう。

$t_2>t_1$ のとき

\begin{align*}
S&=\dint{t_1}{t_2}\bigl\{(ax^2+bx+c)-\{(2at_1+b)x-a{t_1}^2+c\}\bigr\}\;dx \\[4pt]
&=\dint{t_1}{t_2}(ax^2-2at_1x+a{t_1}^2)\;dx \\[4pt]
&=\dint{t_1}{t_2}a(x-t_1)^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{a}{3}(x-t_1)^3}{t_1}{t_2} \\[4pt]
&=\dfrac{a}{3}(t_2-t_1)^3
\end{align*}

$t_2<t_1$ のときは積分区間が逆になるだけだから

\begin{align*}
S=\dfrac{a}{3}(t_1-t_2)^3
\end{align*}

接する2つの放物線と $y$ 軸で囲まれた図形の面積を一般的に求める

ヒロ

さらに放物線どうしが接する場合を考えてみよう。

問題$f(x)=ax^2+bx+c$，$g(x)=px^2+qx+r$ とし，2つの放物線 $C:y=f(x),~D:y=g(x)$ が $x$ 座標が $t_1$ の点で接しているとする。直線 $x=t_2~(\neq t_1),~C,~D$ で囲まれた図形の面積 $S$ を求めよ。ただし，$a>p$ とする。

ヒロ

$t_1<t_2$ の場合を考える。

2つの放物線 $C,~D$ が $x=t_1$ の点で接しているから，方程式 $f(x)-g(x)=0$ は重解 $x=t_1$ をもつ。したがって，$f(x)-g(x)$ の $x^2$ の係数が $a-p$ になることを考えると

\begin{align*}
f(x)-g(x)=(a-p)(x-t_1)^2
\end{align*}

と変形できるから，面積 $S$ は

\begin{align*}
S&=\dint{t_1}{t_2}\{f(x)-g(x)\}\;dx \\[4pt]
&=\dint{t_1}{t_2}(a-p)(x-t_1)^2\;dx \\[4pt]
&=\Tint{\dfrac{a-p}{3}(x-t_1)^3}{t_1}{t_2} \\[4pt]
&=\dfrac{a-p}{3}(t_2-t_1)^3
\end{align*}

面積を求める3分の1公式

ヒロ

面積を求める3分の1公式を使えるようにしよう。

面積を求める3分の1公式

放物線 $C$ とその接線 $\ell$ および $y$ 軸に平行な直線 $m$ で囲まれた図形の面積 $S_1$ や接する2つの放物線 $C,~D$ と直線 $m$ で囲まれた図形の面積 $S_2$ は，次のように表すことができる。図中の $[a]$, $[b]$ は $x^2$ の係数を表す。

\begin{align*}
S_1=\dfrac{\abs{a}}{3}d^3,~S_2=\dfrac{\abs{a-b}}{3}d^3
\end{align*}

3分の1公式を利用した解法（裏技解法）

放物線 $y=-x^2+2x$ を $C$ とし，原点Oにおける $C$ の接線を $\ell$ とする。
直線 $x=\dfrac{a}{2},~\ell$ および $C$ で囲まれた図形の面積 $S$ は $S=\dfrac{a^{\,\myBox{ア}}}{\myBox{イウ}}$である。ただし，$a$ は $0<a<2$ を満たす定数とする。