2020年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式の解説をします。
まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。
2020年 センターⅠA 第1問 数と式〔1〕$a$ を定数とする。
(1) 直線 $\ell:y=(a^2-2a-8)x+a$ の傾きが負となるのは，$a$ の値の範囲が
(2) $a^2-2a-8\neq0$ とし，(1)の直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $b$ とする。
(1) 直線 $\ell:y=(a^2-2a-8)x+a$ の傾きが負となるのは，$a$ の値の範囲が
\begin{align*} \myBox{アイ}<a<\myBox{ウ} \end{align*}
のときである。(2) $a^2-2a-8\neq0$ とし，(1)の直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $b$ とする。
$a>0$ の場合，$b>0$ となるのは $\myBox{エ}<a<\myBox{オ}$ のときである。
$a\leqq0$ の場合，$b>0$ となるのは $a<\myBox{カキ}$ のときである。
また，$a=\sqrt{3}$ のとき
また，$a=\sqrt{3}$ のとき
\begin{align*} b=\dfrac{\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケ}}-\myBox{コ}}{\myBox{サシ}} \end{align*}
である。(1)の考え方と解答
ヒロ
直線 $y=ax+b$ の傾きとは $a$ のことだね。
【ア～ウの解答】
直線 $\ell$ の傾きが負のとき
直線 $\ell$ の傾きが負のとき
\begin{align*} &a^2-2a-8<0 \\[4pt] &(a-4)(a+2)<0 \\[4pt] &-2<a<4 \end{align*}
(2)の考え方と解答
(2) $a^2-2a-8\neq0$ とし，(1)の直線 $\ell$ と $x$ 軸との交点の $x$ 座標を $b$ とする。 $a>0$ の場合，$b>0$ となるのは $\myBox{エ}<a<\myBox{オ}$ のときである。 $a\leqq0$ の場合，$b>0$ となるのは $a<\myBox{カキ}$ のときである。 また，$a=\sqrt{3}$ のとき
\begin{align*} b=\dfrac{\myBox{ク}\sqrt{\myBox{ケ}}-\myBox{コ}}{\myBox{サシ}} \end{align*}である。
ヒロ
次は直線と $x$ 軸の交点を求める問題。
ヒロ
$x$ 軸上では $y$ 座標が0になることを利用しよう。
【エ～キの解答】
$(a^2-2a-8)x+a=0$ より，$x=-\dfrac{a}{a^2-2a-8}$ となるから
$a\leqq0$ の場合，$b>0$ となるのは $a^2-2a-8>0$ のときだから
$(a^2-2a-8)x+a=0$ より，$x=-\dfrac{a}{a^2-2a-8}$ となるから
\begin{align*} b=-\dfrac{a}{a^2-2a-8} \end{align*}
$a>0$ の場合，$b>0$ となるのは $a^2-2a-8<0$ のときだから \begin{align*} &(a-4)(a+2)<0 \\[4pt] &-2<a<4 \end{align*}
$a>0$ より $0<a<4$$a\leqq0$ の場合，$b>0$ となるのは $a^2-2a-8>0$ のときだから
\begin{align*} &(a-4)(a+2)>0 \\[4pt] &a<-2,~4<a\end{align*}
$a\leqq0$ より $a<-2$ヒロ
最後は $a=\sqrt{3}$ のときの $b$ の値を求める問題。
【ク～シの解答】
$a=\sqrt{3}$ のとき
$a=\sqrt{3}$ のとき
\begin{align*} b&=-\dfrac{\sqrt{3}}{3-2\sqrt{3}-8} \\[4pt] &=\dfrac{\sqrt{3}}{5+2\sqrt{3}}\Cdota\dfrac{5-2\sqrt{3}}{5-2\sqrt{3}} \\[4pt] &=\dfrac{5\sqrt{3}-6}{13} \end{align*}
2020年 センター数学ⅠA 数と式を解いた感想
ヒロ
直線の傾きとは何か，無理数の分母の有理化ができるかなど基本的な数学力を確かめられている。
ヒロ
文字の符号によって，不等式を正しく解けるかどうかを確かめる問題になっている。
ヒロ
場合分けも誘導されているため，簡単だと感じる人が多いだろう。
