2020年センター試験 数学ⅡB 第3問 数列

2020年センター試験数学ⅡB 第3問数列の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2020年センターⅡB 第3問数列　数列 $\{a_n\}$ は，初項 $a_1$ が0であり，$n=1,~2,~3,~\cdots$ のとき次の漸化式を満たすものとする。

\begin{align*}
a_{n+1}=\dfrac{n+3}{n+1}\{3a_n+3^{n+1}-(n+1)(n+2)\}~\cdots\cdots①
\end{align*}

(1) $a_2=\myBox{ア}$ である。
(2) $b_n=\dfrac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$ とおき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよう。
　$\{b_n\}$ の初項 $b_1$ は $\myBox{イ}$ である。①の両辺を $3^{n+1}(n+2)(n+3)$ で割ると

\begin{align*}
b_{n+1}=b_n+\dfrac{\myBox{ウ}}{\left(n+\myBox{エ}\right)
\left(n+\myBox{オ}\right)}-\left(\dfrac{1}{\myBox{カ}}\right)^{n+1}
\end{align*}

を得る。ただし，$\mybox{エ}<\mybox{オ}$ とする。
　したがって

\begin{align*} b_{n+1}-b_n=\left(\dfrac{\myBox{キ}}{n+\mybox{エ}} -\dfrac{\mybox{キ}}{n+\mybox{オ}}\right)-\left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{n+1} \end{align*}

である。
　$n$ を2以上の自然数とするとき

\begin{align*} &\Sum{k=1}{n-1}\left(\dfrac{\myBox{キ}}{n+\mybox{エ}} -\dfrac{\mybox{キ}}{n+\mybox{オ}}\right)=\dfrac{1}{\myBox{ク}} \left(\dfrac{n-\myBox{ケ}}{n+\myBox{コ}}\right) \\[4pt] &\Sum{k=1}{n-1}\left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{k+1} =\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}-\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}} \left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{n} \end{align*}

が成り立つことを利用すると

\begin{align*} b_n=\dfrac{n-\myBox{ソ}}{\myBox{タ}\left(n+\myBox{チ}\right)} +\dfrac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}} \left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{n} \end{align*}

が得られる。これは $n=1$ のときも成り立つ。
(3) (2)により，$\{a_n\}$ の一般項は

\begin{align*} a_n=\myBox{ツ}^{~n-\myBox{テ}}\left(n^2-\myBox{ト}\right) +\dfrac{\left(n+\myBox{ナ}\right)\left(n+\myBox{ニ}\right)}{\myBox{ヌ}} \end{align*}

で与えられる。ただし，$\mybox{ナ}<\mybox{ニ}$ とする。
　このことから，すべての自然数 $n$ について，$a_n$ は整数となることがわかる。
(4) $k$ を自然数とする。$a_{3k}$, $a_{3k+1}$, $a_{3k+2}$ を3で割った余りはそれぞれ $\myBox{ネ}$, $\myBox{ノ}$, $\myBox{ハ}$ である。また，$\{a_n\}$ の初項から第2020項までの和を3で割った余りは $\myBox{ヒ}$ である。

Contents

1 (1)の考え方と解答
2 (2)の考え方と解答
3 (3)の考え方と解答
4 (4)の考え方と解答
5 2020年センター数学ⅡB 数列を解いた感想

(1)の考え方と解答

ヒロ

第2項を求める問題。$n=1$ を代入して求めよう。

【アの解答】
①に $n=1$ を代入して

\begin{align*}
a_2&=\dfrac{4}{2}\{3a_1+3^2-2\Cdota3\} \\[4pt]
&=2(9-6) \\[4pt]
&=6
\end{align*}

(2)の考え方と解答

(2) $b_n=\dfrac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$ とおき，数列 $\{b_n\}$ の一般項を求めよう。
　$\{b_n\}$ の初項 $b_1$ は $\myBox{イ}$ である。①の両辺を $3^{n+1}(n+2)(n+3)$ で割ると
\begin{align*}
b_{n+1}=b_n+\dfrac{\myBox{ウ}}{\left(n+\myBox{エ}\right)
\left(n+\myBox{オ}\right)}-\left(\dfrac{1}{\myBox{カ}}\right)^{n+1}
\end{align*}
を得る。ただし，$\mybox{エ}<\mybox{オ}$ とする。
　したがって
\begin{align*} b_{n+1}-b_n=\left(\dfrac{\myBox{キ}}{n+\mybox{エ}} -\dfrac{\mybox{キ}}{n+\mybox{オ}}\right)-\left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{n+1} \end{align*}
である。

ヒロ

まずは $b_1$ を求めよう。

【イの解答】
$b_n=\dfrac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}$ より

\begin{align*} b_1&=\dfrac{a_1}{3\Cdot2\Cdot3} \\[4pt] &=0 \end{align*}

ヒロ

誘導通りに解いていこう。

【ウ～カの解答】
①の両辺を $3^{n+1}(n+2)(n+3)$ で割ると

\begin{align*} &\dfrac{a_{n+1}}{3^{n+1}(n+2)(n+3)} =\dfrac{(n+3)\{3a_n+3^{n+1}-(n+1)(n+2)\}}{(n+1)3^{n+1}(n+2)(n+3)} \\[4pt] &b_{n+1}=\dfrac{a_n}{3^n(n+1)(n+2)}+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}-\dfrac{1}{3^{n+1}} \\[4pt] &b_{n+1}=b_n+\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n+1} \end{align*}

ヒロ

次は部分分数分解する問題。といっても差に直すだけの問題。

【キの解答】
$\dfrac{1}{(n+1)(n+2)}$ を差で表すだけなのでこの部分だけ書く。

\begin{align*} \dfrac{1}{(n+1)(n+2)}=\dfrac{1}{n+1}-\dfrac{1}{n+2} \end{align*}

$n$ を2以上の自然数とするとき
\begin{align*} &\Sum{k=1}{n-1}\left(\dfrac{\myBox{キ}}{n+\mybox{エ}} -\dfrac{\mybox{キ}}{n+\mybox{オ}}\right)=\dfrac{1}{\myBox{ク}} \left(\dfrac{n-\myBox{ケ}}{n+\myBox{コ}}\right) \\[4pt] &\Sum{k=1}{n-1}\left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{k+1} =\dfrac{\myBox{サ}}{\myBox{シ}}-\dfrac{\myBox{ス}}{\myBox{セ}} \left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{n} \end{align*}
が成り立つことを利用すると
\begin{align*} b_n=\dfrac{n-\myBox{ソ}}{\myBox{タ}\left(n+\myBox{チ}\right)} +\dfrac{\mybox{ス}}{\mybox{セ}} \left(\dfrac{1}{\mybox{カ}}\right)^{n} \end{align*}
が得られる。これは $n=1$ のときも成り立つ。

ヒロ

差で表された数列の和と等比数列の和を求める問題。

【ク～セの解答】

\begin{align*} &\Sum{k=1}{n-1}\left(\dfrac{1}{k+1}-\dfrac{1}{k+2}\right) \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{n+1} \\[4pt] &=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n-1}{n+1}\right) \end{align*}

また $\Sum{k=1}{n-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k+1}$ は初項 $\dfrac{1}{9}$，公比 $\dfrac{1}{3}$，項数 $n-1$ の等比数列の和であるから

\begin{align*} \Sum{k=1}{n-1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{k+1} &=\dfrac{1}{9}\Cdota\dfrac{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}}{1-\dfrac{1}{3}} \\[4pt] &=\dfrac{1}{6}\left\{1-\left(\dfrac{1}{3}\right)^{n-1}\right\} \\[4pt] &=\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \end{align*}

ヒロ

これで $b_n$ を求めることができるね。

【ソ～チの解答】
$\Sum{k=1}{n-1}(b_{k+1}-b_k)=b_n-b_1=b_n$ であるから

\begin{align*} b_n&=\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n-1}{n+1}\right) -\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \\[4pt] &=\dfrac{3(n-1)-(n+1)}{6(n+1)}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \\[4pt] &=\dfrac{n-2}{3(n+1)}+\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n \end{align*}

(3)の考え方と解答

(3) (2)により，$\{a_n\}$ の一般項は
\begin{align*}
a_n=\myBox{ツ}^{~n-\myBox{テ}}\left(n^2-\myBox{ト}\right)
+\dfrac{\left(n+\myBox{ナ}\right)\left(n+\myBox{ニ}\right)}{\myBox{ヌ}}
\end{align*}
で与えられる。ただし，$\mybox{ナ}<\mybox{ニ}$ とする。
　このことから，すべての自然数 $n$ について，$a_n$ は整数となることがわかる。

ヒロ

(2)から $a_n$ を求めよう。

【ツ～ヌの解答】
$a_n=3^n(n+1)(n+2)b_n$ より

\begin{align*} a_n&=3^n(n+1)(n+2)\left\{\dfrac{n-2}{3(n+1)} +\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{1}{3}\right)^n\right\} \\[4pt] &=3^{n-1}(n^2-4)+\dfrac{(n+1)(n+2)}{2} \end{align*}

ヒロ

$(n+1)(n+2)$ は連続する2つの整数の積だから常に偶数になるため，$a_n$ は常に整数となる。

ヒロ

しかし「すべての自然数 $n$ について，$a_n$ は整数となることがわかる」の意味が分からなくても「そうなんだな」と思って次へ進もう。

(4)の考え方と解答

(4) $k$ を自然数とする。$a_{3k}$, $a_{3k+1}$, $a_{3k+2}$ を3で割った余りはそれぞれ $\myBox{ネ}$, $\myBox{ノ}$, $\myBox{ハ}$ である。また，$\{a_n\}$ の初項から第2020項までの和を3で割った余りは $\myBox{ヒ}$ である。

ヒロ

$a_n$ の第1項は3で割り切れるから第2項について考えよう。

【ネ～ハの解答】
　$n$ が2以上のときは $3^{n-1}(n+1)(n+2)$ は3で割り切れるから，$a_n$ を3で割った余りは $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ を3で割った余りに等しい。
　また，$n$ が2以上の3の倍数でない数であるとき，$(n+1)(n+2)$ は3の倍数，かつ2の倍数，すなわち6の倍数になるから $\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$ は3で割り切れる。
　$n$ が3の倍数のとき，$m$ を自然数として $n=3m$ と表せるから

\begin{align*}
\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}&=\dfrac{(3m+1)(3m+2)}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{9}{2}m^2+\dfrac{9}{2}m+1 \\[4pt]
&=9\Cdota\dfrac{m(m+1)}{2}+1
\end{align*}

となる。$\dfrac{m(m+1)}{2}$ は整数であるから，$a_n$ を3で割った余りは1である。
　したがって，$a_{3k}$, $a_{3k+1}$, $a_{3k+2}$ を3で割った余りはそれぞれ $1,~0,~0$ である。

ヒロ

余りを並べてできる数列は循環数列となることを知っておこう。

ヒロ

$a_1,~a_2$ を3で割った余りを考えるのを忘れないようにしよう。

【ヒの解答】
$a_1=0,~a_2=6$ より $a_1,~a_2$ を3で割った余りはともに0である。
$\{a_n\}$ の初項から第2020項までの和を3で割った余りは，$a_n$ を3で割った余りを $r_n$ とすると，$\Sum{k=1}{2020}r_k$ を3で割った余りに等しい。ここで

\begin{align*}
\Sum{k=1}{2020}r_k&=r_1+r_2+\overbrace{(r_3+r_4+r_5)+\cdots
+(r_{2016}+r_{2017}+r_{2018})}^{括弧が672個}+r_{2019}+r_{2020} \\[4pt]
&=0+0+1\times672+1+0 \\[4pt]
&=673 \\[4pt]
&=3\times224+1
\end{align*}

であるから，求める余りは1である。