2019年 センター試験 数学ⅡB 第3問 数列

2019年センター試験数学ⅡB 第3問数列の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2019年センターⅡB 数列初項が3，公比が4の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。また，数列 $\{T_n\}$ は，初項が $-1$ であり，$\{T_n\}$ の階差数列が数列 $\{S_n\}$ であるような数列とする。
(1) $S_2=\myBox{アイ}$, $T_2=\myBox{ウ}$ である。
(2) $\{S_n\}$ と $\{T_n\}$ の一般項は，それぞれ

\begin{align*}
&S_n=\myBox{エ}^{~\myBox{オ}}-\myBox{カ} \\[4pt]
&T_n=\dfrac{\myBox{キ}^{~\myBox{ク}}}{\myBox{ケ}}-n-\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}
\end{align*}

である。ただし，$\myBox{オ}$ と $\myBox{ク}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
⓪ $n-1$　① $n$　② $n+1$　③ $n+2$　④ $n+3$
(3) 数列 $\{a_n\}$ は，初項が $-3$ であり，漸化式

\begin{align*}
na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}

を満たすとする。$\{a_n\}$ の一般項を求めよう。
そのために，$b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ により定められる数列 $\{b_n\}$ を考える。$\{b_n\}$ の初項は $\myBox{シス}$ である。
$\{T_n\}$ は漸化式

\begin{align*}
T_{n+1}=\myBox{セ}~T_n+\myBox{ソ}~n+\myBox{タ}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}

を満たすから，$\{b_n\}$ は漸化式

\begin{align*}
b_{n+1}=\myBox{チ}~b_n+\myBox{ツ}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}

を満たすことがわかる。よって，$\{b_n\}$ の一般項は

\begin{align*}
b_n=\myBox{テト}\Cdota\mybox{チ}^{~\myBox{ナ}}-\myBox{ニ}
\end{align*}

である。ただし，$\myBox{ナ}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。
⓪ $n-1$　① $n$　② $n+1$　③ $n+2$　④ $n+3$
したがって，$\{T_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項から $\{a_n\}$ の一般項を求めると

\begin{align*}
a_n=\dfrac{\myBox{ヌ}\left(\myBox{ネ}~n+\myBox{ノ}\right)\mybox{チ}^{~\mybox{ナ}}+\myBox{ハ}}{\myBox{ヒ}}
\end{align*}

である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 (3)のチ以降を裏技で解く
5 2019年センター数学ⅡB 数列を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

それでは(1)から解いていこう。

ヒロ

$S_2$ と $T_2$ を求める問題だね。

ヒロ

大切なのは $S_2$ や $T_2$ が何を表しているかをしっかり把握すること。

【ア～ウの解答】
$S_2$ は数列 $\{S_n\}$ の初項と第2項の和を表す。元となる数列は初項3，公比4の等比数列だから，

\begin{align*}
S_2&=3+3\Cdota4 \\[4pt]
&=15
\end{align*}

また，$T_2$ は数列 $\{T_n\}$ の第2項を表す。数列 $\{T_n\}$ の階差数列が数列 $\{S_n\}$ だから，

\begin{align*}
T_2&=T_1+S_1 \\[4pt]
&=-1+3 \\[4pt]
&=2
\end{align*}

(2)の解答

(2) $\{S_n\}$ と $\{T_n\}$ の一般項は，それぞれ
\begin{align*}
&S_n=\myBox{エ}^{~\myBox{オ}}-\myBox{カ} \\[4pt]
&T_n=\dfrac{\myBox{キ}^{~\myBox{ク}}}{\myBox{ケ}}-n-\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}
\end{align*}
である。ただし，$\myBox{オ}$ と $\myBox{ク}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。同じものを選んでもよい。
⓪ $n-1$　① $n$　② $n+1$　③ $n+2$　④ $n+3$

ヒロ

次は(2)を解いていこう。

ヒロ

(1)で考えたことを一般化して，一般項を求めよう。

【エ～サの解答】
$S_n$ は初項3，公比4の等比数列の初項から第 $n$ 項までの和だから

\begin{align*}
S_n&=\dfrac{3(4^n-1)}{4-1} \\[4pt]
&=4^n-1
\end{align*}

また，$T_n$ の階差数列が数列 $\{S_n\}$ だから，$n\geqq2$ のとき

\begin{align*}
T_n&=T_1+\Sum{k=1}{n-1}S_k \\[4pt]
&=-1+\Sum{k=1}{n-1}(4^k-1) \\[4pt]
&=-1+\dfrac{4(4^{n-1}-1)}{4-1}-(n-1) \\[4pt]
&=-1+\dfrac{4^n}{3}-\dfrac{4}{3}-n+1 \\[4pt]
&=\dfrac{4^n}{3}-n-\dfrac{4}{3}
\end{align*}

これは $n=1$ のときも成り立つ。

(3)の解答

(3) 数列 $\{a_n\}$ は，初項が $-3$ であり，漸化式
\begin{align*}
na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
を満たすとする。$\{a_n\}$ の一般項を求めよう。
そのために，$b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ により定められる数列 $\{b_n\}$ を考える。$\{b_n\}$ の初項は $\myBox{シス}$ である。
$\{T_n\}$ は漸化式
\begin{align*}
T_{n+1}=\myBox{セ}~T_n+\myBox{ソ}~n+\myBox{タ}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
を満たすから，$\{b_n\}$ は漸化式
\begin{align*}
b_{n+1}=\myBox{チ}~b_n+\myBox{ツ}~(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
を満たすことがわかる。よって，$\{b_n\}$ の一般項は
\begin{align*}
b_n=\myBox{テト}\Cdota\mybox{チ}^{~\myBox{ナ}}-\myBox{ニ}
\end{align*}
である。ただし，$\myBox{ナ}$ については，当てはまるものを，次の⓪～④のうちから一つずつ選べ。
⓪ $n-1$　① $n$　② $n+1$　③ $n+2$　④ $n+3$
したがって，$\{T_n\}$, $\{b_n\}$ の一般項から $\{a_n\}$ の一般項を求めると
\begin{align*}
a_n=\dfrac{\myBox{ヌ}\left(\myBox{ネ}~n+\myBox{ノ}\right)\mybox{チ}^{~\mybox{ナ}}+\myBox{ハ}}{\myBox{ヒ}}
\end{align*}
である。

ヒロ

後半は時間がかかることが多いから，時間に余裕をもって(3)に進みたい。

ヒロ

(3)の最初は $\{b_n\}$ の初項を求める問題。$b_n$ の定義をしっかり確認して，$n$ に1を代入しよう。

【シスの解答】
$b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ より

\begin{align*}
b_1&=a_1+2T_1 \\[4pt]
&=-3+2\Cdota(-1) \\[4pt]
&=-5
\end{align*}

ヒロ

次の $\{T_n\}$ の漸化式を求める問題は，既に分かっている $\{T_n\}$ の一般項を利用しよう。

【セ～タの解答】
$T_n=\dfrac{4^n}{3}-n-\dfrac{4}{3}$ より

\begin{align*}
T_{n+1}=\dfrac{4^{n+1}}{3}-(n+1)-\dfrac{4}{3}
\end{align*}

この後の変形がかなり重要。$T_{n+1}$ を $T_n$ で表さないといけないから，$T_n$ との関係を考える。
そのために，まず $T_{n+1}$ に含まれる $\dfrac{4^{n+1}}{3}$ と $T_n$ に含まれる $\dfrac{4^n}{3}$ に着目すると，$\dfrac{4^{n+1}}{3}$ は $\dfrac{4^n}{3}$ の4倍であることが分かる。
したがって，$T_{n+1}=4T_n+\cdots$ と変形して，等号が成り立つように，着目しなかった項を調整すると，次のように変形できる。

\begin{align*}
T_{n+1}&=4\left(\dfrac{4^n}{3}-n-\dfrac{4}{3}\right)+3n+3 \\[4pt]
&=4T_n+3n+3
\end{align*}

ヒロ

$b_n,~T_n$ の関係と $a_n,~T_n$ の関係を利用して $\{b_n\}$ の漸化式を求めよう。

ヒロ

ただ，$b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ を利用して，$b_{n+1}$ を計算していくと大変なことになりそうだね。

ヒロ

何が大変そうかというと，$a_n$ と $a_{n+1}$ が現れるため，これを消さないといけない。

ヒロ

また，問題文から $\{T_n\}$ の漸化式が分かることによって，$\{b_n\}$ の漸化式も分かると読み取れる。

ヒロ

つまり，まずは $a_n,~T_n$ の関係式を利用して $b_n$ と $b_{n+1}$ を作ることから進めてみよう。

ヒロ

ここで，漸化式パターン7の考え方が役に立つ。

【チツの解答】
$na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n$ の両辺を $n(n+1)$ で割ると

\begin{align*}
&\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{4a_n}{n}+\dfrac{8T_n}{n(n+1)} \\[4pt]
&\dfrac{a_{n+1}}{n+1}=\dfrac{4a_n}{n}+\dfrac{8T_n}{n}-\dfrac{8T_n}{n+1}
\end{align*}

ここで，左辺に $\dfrac{2T_{n+1}}{n+1}$ があれば $b_{n+1}$ になるから，両辺にそれを加えよう。

\begin{align*}
&\dfrac{a_{n+1}}{n+1}+\dfrac{2T_{n+1}}{n+1}=\dfrac{4a_n}{n}+\dfrac{8T_n}{n}-\dfrac{8T_n}{n+1}+\dfrac{2T_{n+1}}{n+1} \\[4pt]
&\dfrac{a_{n+1}+2T_{n+1}}{n+1}=4\Cdot\dfrac{a_n+2T_n}{n}+\dfrac{2(T_{n+1}-4T_n)}{n+1}
\end{align*}

これで左辺は $b_{n+1}$ になる。また，右辺の $a_n$ もカタマリで $b_n$ となって消える。残った部分に対して $\{T_n\}$ の漸化式を利用すれば良いはず。ちょうどうまく利用できる形になっているから，おそらく合っているだろうという気持ちにもなれる。

\begin{align*}
&b_{n+1}=4b_n+\dfrac{2(3n+3)}{n+1} \\[4pt]
&b_{n+1}=4b_n+6
\end{align*}

ヒロ

最後に，分母の $n+1$ が約分できて消えたから一安心だね。

ヒロ

それでは漸化式から $b_n$ を求めよう。パターン2の解法を思い出そう。

【テ～ニの解答】
$x=4x+6$ を解くと，$x=-2$ となるから，$b_{n+1}=4b_n+6$ より

\begin{align*}
&b_{n+1}+2=4(b_n+2)
\end{align*}

数列 $\{b_n+2\}$ は公比4の等比数列であり，$b_1+2=-3$ であるから

\begin{align*}
&b_n+2=-3\Cdota4^{n-1} \\[4pt]
&b_n=-3\Cdota4^{n-1}-2
\end{align*}

ヒロ

最後の $a_n$ を求めよう。

【ヌ～ヒの解答】
$b_n=\dfrac{a_n+2T_n}{n}$ より

\begin{align*}
a_n=nb_n-2T_n
\end{align*}

であり，これに

\begin{align*}
&T_n=\dfrac{4^n}{3}-n-\dfrac{4}{3} \\[4pt]
&b_n=-3\Cdota4^{n-1}-2
\end{align*}

を代入すると

\begin{align*}
a_n&=n(-3\Cdota4^{n-1}-2)-2\left(\dfrac{4^n}{3}-n-\dfrac{4}{3}\right) \\[4pt]
&=-3n\Cdota4^{n-1}+\dfrac{-2\Cdot4^n+8}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{-9n\Cdot4^{n-1}-8\Cdot4^{n-1}+8}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{-(9n+8)\Cdot4^{n-1}+8}{3}
\end{align*}

(3)のチ以降を裏技で解く

ヒロ

(3)の後半の $\myBox{チ}$ 以降が比較的難しく感じるだろう。

ヒロ

上で書いたような解答を説明されても「こんな変形できない！」という人のために，裏技解法でも解いておく。

ヒロ

ここで紹介する方法なら，最低限の知識と計算力があれば，中学生でも答えを求めることができる。

【裏技解法】
空欄部分は定数と分かるから，$b_{n+1}=xb_n+y$ と置いてしまおう。$x,~y$ の2文字が未知数だから，独立した2本の方程式を用意しよう。まず，$n=1$ のときを考える。$b_1=-5$ となることは既に求めているから，あとは $b_2$ を求めれば良い。そのために $a_2$ を求めないといけない。
$na_{n+1}=4(n+1)a_n+8T_n$ に $n=1$ を代入すると

\begin{align*}
a_2&=8a_1+8T_1 \\[4pt]
&=8\Cdota(-3)+8\Cdota(-1) \\[4pt]
&=-32
\end{align*}

$T_2$ は(1)で求めた値を再利用すればよいから，$b_2$ を求めよう。

\begin{align*}
b_2&=\dfrac{a_2+2T_2}{2} \\[4pt]
&=\dfrac{-32+2\Cdot2}{2} \\[4pt]
&=-14
\end{align*}

したがって，$b_2=xb_1+y$ より

\begin{align*}
-14=-5x+y
\end{align*}

これで1本の方程式が得られた。ここで，今回の場合，空欄の形から $x\neq1$ であることが分かるから，数字が入るなら2から9までの整数。あと考えられるのはマイナスの符号。
仮にマイナスの符号が入るとすると，

\begin{align*}
-14=5+y
\end{align*}

となるから，$y=-19$ となる。しかし，これは空欄に当てはまらないから間違いだと分かる。これで $x$ は2から9の整数であることが確定する。
空欄の形から $y$ は9以下の自然数であることが分かるから

\begin{align*}
&1\leqq5x-14\leqq9 \\[4pt]
&15\leqq5x\leqq23 \\[4pt]
&x=3,~4
\end{align*}

$x=3$ のとき，$y=1$であり，$x=4$ のとき，$y=6$ である。今回の問題では，1つに絞れなかったため，確実に得点するためには，もう1本の方程式を求めないといけない。ただ，時間がないなら，どちらか1組を選んでマークしよう。50% の確率で得点できることになる。これは適当にマークするよりはるかに高い確率であることは言うまでもない。
一応，真面目にもう1本を求めておこう。そのために $b_3$ の値を求めないといけない。つまり，$a_3$ や $T_3$ の値も必要。

\begin{align*}
2a_3&=12a_2+8T_2 \\[4pt]
a_3&=6a_2+4T_2 \\[4pt]
&=6\Cdota(-32)+4\Cdota2 \\[4pt]
&=-192+8 \\[4pt]
&=-184
\end{align*}

次に $T_3$ を求める。

\begin{align*}
T_3&=\dfrac{4^3}{3}-3-\dfrac{4}{3} \\[4pt]
&=17
\end{align*}

よって，$b_3$ は次のようになる。

\begin{align*}
b_3&=\dfrac{a_3+2T_3}{3} \\[4pt]
&=\dfrac{-184+2\Cdot17}{3} \\[4pt]
&=-50
\end{align*}

$b_3=xb_2+y$ より

\begin{align*}
-50=-14x+y
\end{align*}

これで2本の方程式が得られた。

\begin{align*}
\begin{cases}
-14=-5x+y &~\cdots\cdots① \\[4pt]
-50=-14x+y &~\cdots\cdots②
\end{cases}
\end{align*}

① ，②より

\begin{align*}
x=4,~y=6
\end{align*}