2018年 センター試験 数学ⅡB 第3問 数列

2018年センター試験数学ⅡB 第3問数列の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2018年センターⅡB 数列第4項が30，初項から第8項までの和が288である等差数列を $\{a_n\}$ とし，$\{a_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $S_n$ とする。また，第2項が36，初項から第3項までの和が156である等比数列で公比が1より大きいものを $\{b_n\}$ とし，$\{b_n\}$ の初項から第 $n$ 項までの和を $T_n$ とする。
(1) $\{a_n\}$ の初項は $\myBox{アイ}$，公差は $\myBox{ウエ}$ であり

\begin{align*}
S_n=\myBox{オ}~n^2-\myBox{カキ}~n
\end{align*}

である。
(2) $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{クケ}$，公比は $\myBox{コ}$ であり

\begin{align*}
T_n=\myBox{サ}\left(\myBox{シ}^n-\myBox{ス}\right)
\end{align*}

である。
(3) 数列 $\{c_n\}$ を次のように定義する。

\begin{align*}
c_n&=\Sum{k=1}{n}(n-k+1)(a_k-b_k) \\[4pt]
&=n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots+2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n) \\[4pt]
&\quad(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}

たとえば

\begin{align*}
&c_1=a_1-b_1,~c_2=2(a_1-b_1)+(a_2-b_2) \\[4pt]
&c_3=3(a_1-b_1)+2(a_2-b_2)+(a_3-b_3)
\end{align*}

である。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよう。
　$\{c_n\}$ の階差数列を $\{d_n\}$ とする。$d_n=c_{n+1}-c_n$ であるから，$d_n=\myBox{セ}$ を満たす。$\myBox{セ}$ に当てはまるものを，次の ⓪～⑦のうちから一つ選べ。
⓪ $S_n+T_n$　① $S_n-T_n$　② $-S_n+T_n$
③ $-S_n-T_n$　④ $S_{n+1}+T_{n+1}$　⑤ $S_{n+1}-T_{n+1}$
⑥ $-S_{n+1}+T_{n+1}$　⑦ $-S_{n+1}-T_{n+1}$
したがって，(1)と(2)により

\begin{align*}
d_n=\myBox{ソ}~n^2-2\Cdota\myBox{タ}^{~n+\myBox{チ}}
\end{align*}

である。$c_1=\myBox{ツテト}$ であるから，$\{c_n\}$ の一般項は

\begin{align*}
c_n=\myBox{ナ}~n^3-\myBox{ニ}~n^2+n+\myBox{ヌ}-\mybox{タ}^{~n+\myBox{ネ}}
\end{align*}

である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 (3)の解答
4 2018年センターIIB 数列を解いた感想

(1)の解答

ヒロ

与えられた2つの条件から等差数列の初項と公差を求める問題。

【ア～エの解答】
数列 $\{a_n\}$ の初項を $a$，公差を $d$ とすると，第4項が30であるから

\begin{align*}
a+3d=30
\end{align*}

また，初項から第8項までの和が288であるから

\begin{align*}
&\dfrac{a_1+a_8}{2}\Cdota8=288 \\[4pt]
&4\{a+(a+7d)\}=288 \\[4pt]
&2a+7d=72
\end{align*}

よって，$a=-6,~d=12$ となるから，数列 $\{a_n\}$ の初項は $-6$，公差は12である。

ヒロ

次は等差数列の和を求めることができる人なら簡単に解けるだろう。

【オ～キの解答】
数列 $\{a_n\}$ の一般項は

\begin{align*}
a_n&=-6+12(n-1) \\[4pt]
&=12n-18
\end{align*}

であるから，和 $S_n$ は

\begin{align*}
S_n&=\dfrac{a_1+a_n}{2}\Cdota n \\[4pt]
&=\dfrac{n}{2}(-6+12n-18) \\[4pt]
&=n(6n-12) \\[4pt]
&=6n^2-12n
\end{align*}

となる。

(2)の解答

(2) $\{b_n\}$ の初項は $\myBox{クケ}$，公比は $\myBox{コ}$ であり
\begin{align*}
T_n=\myBox{サ}\left(\myBox{シ}^n-\myBox{ス}\right)
\end{align*}
である。

ヒロ

与えられた2つの条件から等比数列の初項と公差を求める問題。

【ク～コの解答】
数列 $\{b_n\}$ の初項を $b$，公比を $r$ とすると，第2項が36であるから

\begin{align*}
br=36
\end{align*}

また，初項から第3項までの和が156であるから

\begin{align*}
&b+br+br^2=156
\end{align*}

両辺に $r$ を掛けて，$br=36$ を利用すると

\begin{align*}
&br+br^2+br^3=156r \\[4pt]
&36+36r+36r^2=156r \\[4pt]
&36r^2-120r+36=0 \\[4pt]
&3r^2-10r+3=0 \\[4pt]
&(r-3)(3r-1)=0 \\[4pt]
&r=3,~\dfrac{1}{3}
\end{align*}

公比は1より大きいから，公比は3である。このとき，

\begin{align*}
&3b=36 \\[4pt]
&b=12
\end{align*}

となるから，初項は12である。

ヒロ

次は等比数列の和を求めることができる人なら簡単に解けるだろう。

【サ～スの解答】

\begin{align*}
T_n&=\dfrac{12(3^n-1)}{3-1} \\[4pt]
&=6(3^n-1)
\end{align*}

(3)の解答

(3) 数列 $\{c_n\}$ を次のように定義する。
\begin{align*}
c_n&=\Sum{k=1}{n}(n-k+1)(a_k-b_k) \\[4pt]
&=n(a_1-b_1)+(n-1)(a_2-b_2)+\cdots+2(a_{n-1}-b_{n-1})+(a_n-b_n) \\[4pt]
&\quad(n=1,~2,~3,~\cdots)
\end{align*}
たとえば
\begin{align*}
&c_1=a_1-b_1,~c_2=2(a_1-b_1)+(a_2-b_2) \\[4pt]
&c_3=3(a_1-b_1)+2(a_2-b_2)+(a_3-b_3)
\end{align*}
である。数列 $\{c_n\}$ の一般項を求めよう。
　$\{c_n\}$ の階差数列を $\{d_n\}$ とする。$d_n=c_{n+1}-c_n$ であるから，$d_n=\myBox{セ}$ を満たす。$\myBox{セ}$ に当てはまるものを，次の ⓪～⑦のうちから一つ選べ。
⓪ $S_n+T_n$　① $S_n-T_n$　② $-S_n+T_n$
③ $-S_n-T_n$　④ $S_{n+1}+T_{n+1}$　⑤ $S_{n+1}-T_{n+1}$
⑥ $-S_{n+1}+T_{n+1}$　⑦ $-S_{n+1}-T_{n+1}$
したがって，(1)と(2)により
\begin{align*}
d_n=\myBox{ソ}~n^2-2\Cdota\myBox{タ}^{~n+\myBox{チ}}
\end{align*}
である。$c_1=\myBox{ツテト}$ であるから，$\{c_n\}$ の一般項は
\begin{align*}
c_n=\myBox{ナ}~n^3-\myBox{ニ}~n^2+n+\myBox{ヌ}-\mybox{タ}^{~n+\myBox{ネ}}
\end{align*}
である。

ヒロ

$d_n=c_{n+1}-c_n$ を素直に計算していこう。

【セの解答】
$d_n=c_{n+1}-c_n$ より

\begin{align*}
d_n&=\Sum{k=1}{n+1}(n+1-k+1)(a_k-b_k)-\Sum{k=1}{n}(n-k+1)(a_k-b_k) \\[4pt]
&=a_{n+1}-b_{n+1}+\Sum{k=1}{n}\{(n+1-k+1)(a_k-b_k)-(n-k+1)(a_k-b_k)\} \\[4pt]
&=a_{n+1}-b_{n+1}+\Sum{k=1}{n}(a_k-b_k) \\[4pt]
&=\Sum{k=1}{n+1}a_k-\Sum{k=1}{n+1}b_k \\[4pt]
&=S_{n+1}-T_{n+1}
\end{align*}

よって，$\myBox{セ}=⑤$

ヒロ

(1)と(2)の結果から $d_n$ を求めることができるね。

【ソ～チの解答】
$S_n=6n^2-12n$, $T_n=6(3^n-1)$ より

\begin{align*}
d_n&=S_{n+1}-T_{n+1} \\[4pt]
&=6(n+1)^2-12(n+1)-6(3^{n+1}-1) \\[4pt]
&=6n^2-2\Cdota3^{n+2}
\end{align*}

ヒロ

$\myBox{ツテト}$ は絶対に落とせない問題。$\myBox{セ}$ ～ $\myBox{タ}$ が分からなくても求めることができる。

ヒロ

こういう部分で意外と差が付くので注意しよう。

【ツテトの解答】

\begin{align*}
c_1&=a_1-b_1 \\[4pt]
&=-6-12 \\[4pt]
&=-18
\end{align*}

ヒロ

数列 $\{c_n\}$ の階差数列が数列 $\{d_n\}$ であることを考えて $d_n$ を求めよう。

【ナ～ネの解答】
$n\geqq2$ のとき

\begin{align*}
c_n&=c_1+\Sum{k=1}{n-1}d_k \\[4pt]
&=-18+\Sum{k=1}{n-1}(6k^2-2\Cdota3^{k+2}) \\[4pt]
&=-18+6\Cdota\dfrac{1}{6}(n-1)n(2n-1)-\dfrac{2\Cdot3^3(3^{n-1}-1)}{3-1} \\[4pt]
&=-18+(2n^3-3n^2+n)-3^3(3^{n-1}-1) \\[4pt]
&=2n^3-3n^2+n+9-3^{n+2}
\end{align*}

これは $n=1$ のときも成り立つ。