2016年 センター試験 数学ⅡB 第4問 ベクトル

2016年のセンター試験数学ⅡB 第4問ベクトルの解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年センターⅡB ベクトル四面体OABCにおいて，$\abs{\Vec{OA}}=3$, $\abs{\Vec{OB}}=\abs{\Vec{OC}}=2$, $\kaku{AOB}=\kaku{BOC}=\kaku{COA}=60\Deg$ であるとする。また，辺OA上に点Pをとり，辺BC上に点Qをとる。以下，$\Vec{OA}=\vec{a}$, $\Vec{OB}=\vec{b}$, $\Vec{OC}=\vec{c}$ とおく。
(1) $0\leqq s\leqq1,~0\leqq t\leqq1$ であるような実数 $s,~t$ を用いて $\Vec{OP}=s\vec{a}$, $\Vec{OQ}=(1-t)\vec{b}+t\vec{c}$ と表す。$\vec{a}\Cdot\vec{b}=\vec{a}\Cdot\vec{c}=\myBox{ア},~\vec{b}\Cdot\vec{c}=\myBox{イ}$ であることから

\begin{align*}
\abs{\Vec{PQ}}^2=\left(\myBox{ウ}s-\myBox{エ}\right)^2+\left(\myBox{オ}t-\myBox{カ}\right)^2+\myBox{キ}
\end{align*}

となる。したがって，$\abs{\Vec{PQ}}$ が最小となるのは $s=\dfrac{\myBox{ク}}{\myBox{ケ}}$, $t=\dfrac{\myBox{コ}}{\myBox{サ}}$ のときであり，このとき $\abs{\Vec{PQ}}=\sqrt{\myBox{シ}}$ となる。
(2) 三角形ABCの重心をGとする。$\abs{\Vec{PQ}}=\sqrt{\mybox{シ}}$ のとき，三角形GPQの面積を求めよう。
$\Vec{OA}\Cdot\Vec{PQ}=\myBox{ス}$ から，$\kaku{APQ}=\myBox{セソ}\Deg$ である。したがって，三角形APQの面積は $\sqrt{\myBox{タ}}$ である。また

\begin{align*}
\Vec{OG}=\dfrac{\myBox{チ}}{\myBox{ツ}}\Vec{OA}+\dfrac{\myBox{テ}}{\myBox{ト}}\Vec{OQ}
\end{align*}

であり，点Gは線分AQを $\myBox{ナ}:1$ に内分する点である。
以上のことから，三角形GPQの面積は $\dfrac{\sqrt{\myBox{ニ}}}{\myBox{ヌ}}$ である。

Contents

1 (1)の解答
2 (2)の解答
3 2016年センター数学ⅡB ベクトルを解いた感想

(1)の解答

ヒロ

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の内積を求めたいから，三角形OABに着目しよう。

【アの解答】
$\abs{\vec{a}}=3$, $\abs{\vec{b}}=2$, $\kaku{AOB}=60\Deg$ より

\begin{align*}
\vec{a}\Cdot\vec{b}&=\abs{\vec{a}}\abs{\vec{b}}\cos60\Deg \\[4pt]
&=3\Cdota2\Cdota\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=3
\end{align*}

ヒロ

$\vec{a}\Cdot\vec{c}$ については，問題文から $\vec{a}\Cdot\vec{b}$ と等しいことが分かるから特に求める必要がないので，時間が足りなくなる人は，等しくなることを確認しない方が速くなる。

ヒロ

次は $\vec{b}$ と $\vec{c}$ の内積を求めたいから，三角形OBCに着目しよう。

【イの解答】
$\abs{\vec{b}}=2$, $\abs{\vec{c}}=2$, $\kaku{BOC}=60\Deg$ より

\begin{align*}
\vec{b}\Cdot\vec{c}&=\abs{\vec{b}}\abs{\vec{c}}\cos60\Deg \\[4pt]
&=2^2\Cdota\dfrac{1}{2} \\[4pt]
&=2
\end{align*}

ヒロ

$\Vec{PQ}$ の始点をOに変えて $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ で表して，ベクトルの大きさの2乗を計算しよう。

【ウ～キの解答】

\begin{align*}
\Vec{PQ}&=\Vec{OQ}-\Vec{OP} \\[4pt]
&=-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
\abs{\Vec{PQ}}^2&=\abs{-s\vec{a}+(1-t)\vec{b}+t\vec{c}}^2 \\[4pt]
&=s^2\abs{\vec{a}}^2+(1-t)^2\abs{\vec{b}}^2+t^2\abs{\vec{c}}^2-2s(1-t)\vec{a}\Cdot\vec{b}+2t(1-t)\vec{b}\Cdot\vec{c}-2st\vec{c}\Cdot\vec{a} \\[4pt]
&=9s^2+{\color{red}4(1-t)^2}+4t^2{\color{blue}-6s(1-t)}+{\color{red}4t(1-t)}{\color{blue}-6st} \\[4pt]
&=9s^2{\color{blue}-6s}+{\color{red}4(1-t)\{(1-t)+t\}}+4t^2 \\[4pt]
&=9s^2-6s+4t^2-4t+4 \\[4pt]
&=(3s-1)^2+(2t-1)^2+2
\end{align*}

ヒロ

$\abs{\Vec{PQ}}$ はベクトルの大きさで0以上だから，最小となるのは，$\abs{\Vec{PQ}}^2$ が最小となるときだね。

ヒロ

実数の2乗は0以上であることを利用して最小値を求めよう。

【ク～シの解答】
$\abs{\Vec{PQ}}$ が最小になるのは $\abs{\Vec{PQ}}^2$ が最小になるときであり，

\begin{align*}
\abs{\Vec{PQ}}^2=(3s-1)^2+(2t-1)^2+2
\end{align*}

であるから

\begin{align*}
3s-1=0~~かつ~~2t-1=0
\end{align*}

のときである。すなわち

\begin{align*}
s=\dfrac{1}{3},~t=\dfrac{1}{2}
\end{align*}

のときである。このとき

\begin{align*}
\abs{\Vec{PQ}}=\sqrt{2}
\end{align*}

(2)の解答

ヒロ

問題文からは $\Vec{OA}$ と $\Vec{PQ}$ の内積の値から $\kaku{APQ}$ の大きさを求めることができることが分かる。

ヒロ

この書き方だと，内積は0でなす角は $90\Deg$ であることが予想できる。この時点で時間がなくなっている人は0と90にマークしておこう。

ヒロ

時間に余裕がある人は，答えを予想しながら念のため計算しよう。

【ス～ソの解答】
$\abs{\Vec{PQ}}=\sqrt{2}$ のとき，$s=\dfrac{1}{3}$, $t=\dfrac{1}{2}$ であるから

\begin{align*}
\Vec{PQ}&=-\dfrac{1}{3}\vec{a}+\dfrac{1}{2}\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{c}
\end{align*}

となる。よって，

\begin{align*}
\Vec{OA}\Cdot\Vec{PQ}&=-\dfrac{1}{3}\abs{\vec{a}}^2+\dfrac{1}{2}\vec{a}\Cdot\vec{b}+\dfrac{1}{2}\vec{c}\Cdot\vec{a} \\[4pt]
&=-3+\dfrac{3}{2}+\dfrac{3}{2} \\[4pt]
&=0
\end{align*}

したがって，$\kaku{APQ}=90\Deg$