2016年センター試験 数学ⅠA 第1問 数と式

2016年センター試験数学ⅠA 第1問数と式の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年センターⅠA 第1問数と式　$a$ を実数とする。$x$ の関数

\begin{align*}
f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x
\end{align*}

を考える。

\begin{align*}
f(x)=\left(-\myBox{ア}\,a+\myBox{イ}\right)x+2a+1
\end{align*}

である。
(1) $0\leqq x\leq1$ における $f(x)$ の最小値は，
$a\leqq\dfrac{\mybox{イ}}{\mybox{ア}}$ のとき，$\myBox{ウ}\,a+\myBox{エ}$ であり，
$a>\dfrac{\mybox{イ}}{\mybox{ア}}$ のとき，$\myBox{オ}\,a+\myBox{カ}$ である。
(2) $0\leqq x\leq1$ において，常に $f(x)\geqq\dfrac{2(a+2)}{3}$ となる $a$ の値の範囲は，

\begin{align*}
\dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\leqq a\leqq\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}}
\end{align*}

である。

Contents

1 ウォーミングアップ問題の解答
2 (1)の解答
3 (2)の解答
4 2016年センター数学ⅠA 数と式を解いた感想

ウォーミングアップ問題の解答

ヒロ

$f(x)$ を $x$ について整理する問題。

【アイの解答】

\begin{align*}
f(x)&=(1+2a)(1-x)+(2-a)x \\[4pt]
&=\{-(1+2a)+(2-a)\}x+1+2a \\[4pt]
&=(-3a+1)x+2a+1
\end{align*}

(1)の解答

ヒロ

$x$ の定義域が定められたときの $f(x)$ の最小値を求める問題。

ヒロ

$x$ の係数 $-3a+1$ の符号によって，増加関数か減少関数かが変わるため，最小値をとる $x$ の値も変わる。

ヒロ

しっかり考えて解くようにしよう。

【ウ～カの解答】
$x$ の係数が0以上，すなわち $-3a+1\geq0$ のとき，$f(x)$ は $x=0$ で最小値をとる。したがって
$a\leqq\dfrac{1}{3}$ のとき，最小値は $f(0)=2a+1$ である。
また，$x$ の係数が負，すなわち $-3a+1<0$ のとき，$f(x)$ は $x=1$ で最小値をとる。したがって
$a>\dfrac{1}{3}$ のとき，最小値は $f(1)=-a+2$ である。

$f(1)$ を求めるときは，最初に与えられている $f(x)=(1+2a)(1-x)+(2-a)x$ に $x=1$ を代入するのが良い。

(2)の解答

(2) $0\leqq x\leq1$ において，常に $f(x)\geqq\dfrac{2(a+2)}{3}$ となる $a$ の値の範囲は，
\begin{align*} \dfrac{\myBox{キ}}{\myBox{ク}}\leqq a\leqq\dfrac{\myBox{ケ}}{\myBox{コ}} \end{align*}
である。