2016年 センター試験 数学ⅠA 第5問 平面図形

2016年センター試験数学ⅠA 第5問平面図形の解説をします。

まだ問題を解いていない人は解いてから解説を読んでください。

2016年センターⅠA 第5問平面図形　四角形ABCDにおいて，

$\mathrm{AB}=4$ ,

$\mathrm{BC}=2$ ,

$\mathrm{DA=DC}$ であり，4つの頂点A，B，C，Dは同一円周上にある。対角線ACと対角線BDの交点をE，線分ADを

$2:3$ の比に内分する点をF，直線FEと直線DCの交点をGとする。

$\mybox{ア}$ には，下の⓪～④のうちから当てはまるものを一つ選べ。
　

$\kaku{ABC}$ の大きさが変化するとき四角形ABCDの外接円の大きさも変化することに注意すると，

$\kaku{ABC}$ の大きさがいくらであっても，

$\kaku{DAC}$ と大きさが等しい角は，

$\kaku{DCA}$ と

$\kaku{DBC}$ と

$\myBox{ア}$ である。
⓪

$\kaku{ABD}$ 　①

$\kaku{ACB}$ 　②

$\kaku{ADB}$
③

$\kaku{BCG}$ 　④

$\kaku{BEG}$
　このことより

$\dfrac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AE}}=\dfrac{\myBox{イ}}{\myBox{ウ}}$ である。
次に，

$\sankaku{ACD}$ と直線FEに着目すると，

$\dfrac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=\dfrac{\myBox{エ}}{\myBox{オ}}$ である。
(1) 直線ABが点Gを通る場合について考える。
　このとき，

$\sankaku{AGD}$ の辺AG上に点Bがあるので，

$\mathrm{BG}=\myBox{カ}$ である。
　また，直線ABと直線DCが点Gで交わり，4点A，B，C，Dは同一円周上にあるので，

$\mathrm{DC}=\myBox{キ}\sqrt{\myBox{ク}}$ である。
(2) 四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。
　このとき，四角形ABCDの外接円の直径は

$\myBox{ケ}$ であり，

$\kaku{BAC}=\myBox{コサ}\Deg$ である。
　また，直線FEと直線ABの交点をHとするとき，

$\dfrac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=\dfrac{\mybox{エ}}{\mybox{オ}}$ の関係に着目してAHを求めると，

$\mathrm{AH}=\myBox{シ}$ である。

Contents

1 ウォーミングアップ問題の解答
2 (1)の解答
3 (2)の解答
4 2016年センター数学ⅠA 平面図形を解いた感想

ウォーミングアップ問題の解答

ヒロ

まずは $\kaku{DAC}$ と大きさが等しい角を探す問題。

円が絡んでいるときは，円周角・円に内接する四角形・接弦定理を考えて大きさが等しい角を探そう。

ヒロ

$\kaku{DAC}$ と大きさが等しい角として， $\kaku{DCA}$ が書かれている。これは $\mathrm{DA=DC}$ より， $\sankaku{DAC}$ は二等辺三角形であるから「確かにそうだ」と納得できる。

ヒロ

また， $\kaku{DBC}$ は $\ko{\mathrm{CD}}$ に対する円周角に着目すると $\kaku{DAC}$ と等しい角であることが分かる。

$\mathrm{DA=DC}$ より，

$\ko{\mathrm{DA}}$ に対する円周角の大きさも

$\kaku{DAC}$ と等しい。よって，

$\kaku{DAC}=\kaku{ABD}$ となり，

$\myBox{ア}=⓪$

ヒロ

次は辺の長さの比の値を求める問題。問題文の「このことより」とあるから， $\kaku{DAC}$ と大きさが等しい角を考えるのは当然だね。

【イウの解答】

$\dfrac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AE}}$ を求めるために，

$\mathrm{EC}:\mathrm{AE}$ を考える。今回は

$\kaku{ABD}=\kaku{DBC}$ であることを考えると，BEが

$\kaku{ABC}$ の二等分線になっていることが分かるから

$\begin{align*} \mathrm{EC}:\mathrm{AE}&=\mathrm{BC}:\mathrm{AB} \\[4pt] &=2:4 \\[4pt] &=1:2 \end{align*}$

となる。よって

$\begin{align*} \dfrac{\mathrm{EC}}{\mathrm{AE}}=\dfrac{1}{2} \end{align*}$

ヒロ

次は $\sankaku{ACD}$ と直線FEに着目して $\dfrac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}$ を求める問題。メネラウスの定理を使うことが分かるね。

【エオの解答】
メネラウスの定理より

$\begin{align*} &\dfrac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}\Cdota\dfrac{\mathrm{EA}}{\mathrm{CE}}\Cdota\dfrac{\mathrm{FD}}{\mathrm{AF}}=1 \\[4pt] &\dfrac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}\Cdota\dfrac{2}{1}\Cdota\dfrac{3}{2}=1 \\[4pt] &\dfrac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=\dfrac{1}{3} \end{align*}$

(1)の解答

(1) 直線ABが点Gを通る場合について考える。
　このとき， $\sankaku{AGD}$ の辺AG上に点Bがあるので， $\mathrm{BG}=\myBox{カ}$ である。
　また，直線ABと直線DCが点Gで交わり，4点A，B，C，Dは同一円周上にあるので， $\mathrm{DC}=\myBox{キ}\sqrt{\myBox{ク}}$ である。

ヒロ

直線ABが点Gを通る図を描いて考えよう。

【辺AG上に点Bがある図】

ヒロ

問題文から $\sankaku{AGD}$ に着目することが分かるから，チェバの定理を利用すればよいことが分かるね。

【カの解答】
チェバの定理より

$\begin{align*} &\dfrac{\mathrm{GB}}{\mathrm{BA}}\Cdota\dfrac{\mathrm{AF}}{\mathrm{FD}}\Cdota\dfrac{\mathrm{DC}}{\mathrm{CG}}=1 \\[4pt] &\dfrac{\mathrm{GB}}{4}\Cdota\dfrac{2}{3}\Cdota\dfrac{2}{1}=1 \\[4pt] &\dfrac{1}{3}\mathrm{GB}=1 \\[4pt] &\mathrm{GB}=3 \end{align*}$

ヒロ

方べきの定理の利用を考えるときを覚えておこう。

方べきの定理の利用で求められるもの

弦の長さ
円の内部の点から円周上の点までの距離
円の外部の点から円周上の点までの距離

ヒロ

今回のBGは円の外部の点から円周上の点までの距離だから，方べきの定理を利用すれば良さそうだね。

【キクの解答】
方べきの定理より

$\begin{align*} &\mathrm{GC}\Cdota\mathrm{GD}=\mathrm{GB}\Cdota\mathrm{GA} \\[4pt] &\dfrac{1}{2}\mathrm{DC}\Cdota\dfrac{3}{2}\mathrm{DC}=3\Cdota7 \\[4pt] &\mathrm{DC}^2=2^2\Cdota7 \end{align*}$

$\mathrm{DC}>0$ より，

$\mathrm{DC}=2\sqrt{7}$

(2)の解答

(2) 四角形ABCDの外接円の直径が最小となる場合について考える。
　このとき，四角形ABCDの外接円の直径は $\myBox{ケ}$ であり， $\kaku{BAC}=\myBox{コサ}\Deg$ である。
　また，直線FEと直線ABの交点をHとするとき， $\dfrac{\mathrm{GC}}{\mathrm{DG}}=\dfrac{\mybox{エ}}{\mybox{オ}}$ の関係に着目してAHを求めると， $\mathrm{AH}=\myBox{シ}$ である。